[latex]f(x)= x^{2} -5x+4[/latex]
a) jest to równanie kwadratowe, miejsca zerowe można obliczyć licząc delte.
Δ=[latex]b^{2} -4ac[/latex]=9. Δ>0 czyli ma 2 miejsca zerowe [latex] x_{1}[/latex] oraz [latex]x_{2} [/latex] liczymy je wzorami:
[latex] sqrt{delty} [/latex]=3
[latex] x_{1}= frac{-b-delta}{2a} = frac{5-3}{2}=1 [/latex]
[latex] x_{2}= frac{-b+delta}{2a} = frac{5+3}{2}=4 [/latex]
b) Ogólny wzór to [latex]y=a(x- x_{1} )(x- x_{2} )[/latex]
gdzie [latex]x_{1}[/latex] i [latex]x_{2}[/latex] to miejsca zerowe czyli:
[latex]y=(x-1)(x-4)[/latex]
c) Wzór ogólny postaci kanonicznej to [latex]y=a(x-p)^2+q[/latex] gdzie p i q to x i y wierzchołka, to znaczy ze musimy obliczyć wierzchołek W(p;q).
[latex]p=- frac{b}{2a} = frac{5}{2} [/latex]
[latex]q= frac{-delta}{4a} = -frac{9}{4} [/latex]
Czyli postać kononiczna to:
[latex]y=(x- frac{5}{2} )^2-frac{9}{4} [/latex]
d)
Znak przy najwyższej potędze x jest dodatni czyli ramiona tej paraboli są skierowane do góry, zbior wartości funkcji jest od (+∞;q) gdzie q to wartość wierzchołka czyli [latex] -frac{9}{4} [/latex].
Zwf=(+∞;[latex] -frac{9}{4} [/latex]>
e)
Oś symetrii to prosta która po zgięciu w wzdłuż niej nasza funkcja nakłada się na siebie, w przypadku funkcji kwadratowej jest to punkt p czyli [latex]p=frac{5}{2} [/latex].
f) wartość max i min
Funkcja kwadratowa posiada w całej swojej dziedzinie max bądź min, stwierdzamy czy ramiona paraboli są skierowane go góry czy w dół. Nasza funkcja ma ramiona do góry czyli posiada min ktore liczymy:
[latex]f(p) _{min} =q[/latex] czyli
[latex]f(frac{5}{2}) _{min} =-frac{9}{4}[/latex]
g) monotoniczność czyli kiedy funkcja rośnie a kiedy maleje
Ramiona są skierowane do góry czyli funkcja maleje od (-∞;p>,
a rośnie od
Nawias jest domknięty ponieważ podajemy maksymalne przedziały.
