zad 1 |x+7|>5 x+7 >5 lub x+7 < -5 x> 5-7 lub x < -5-7 x>-2 lub x < -12 x należy do przedziału (-niesk, -12)u (-2, niesk) odp c zad 2 100% - 30% =70% - po obniżce o 30% układam proporcje 70% - 126 100% - x i na krzyż mnożymy 70x = 126*100 70x = 12600 /:70 x =180 odp b zad 3 każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje w wyniku 1 czyli nieważne co jest w nawiasie wynik i tak da 1 odp A zad 4 log4 8 + log4 2 = log4 (8*2) = log4 16 = 2 log4 - oznacza log o podstawie 4 czyli na dole mała 4 odp b zad 5 [latex]W(x)+P(x)= -2x^3 + 5x^2 - 3 + 2x^3 +12x = 5x^2 +12x -3 [/latex] odp a zad 6 mnożymy na krzyż (3x-1)*5 = (7x+1)*2 15x-5=14x+2 15x-14x = 2+5 x=7 odp d zad 7 (x-2)(x+3)<0 x=2 lub x = -3 wykresem jest parabola, ramiona do góry, przechodzi przez -3 i 2, mamy odczytać <0 czyli to co pod osią x z wykresu x należy do (-3, 2) w tym przedziale jest liczba 1 odp d zad 8 y = -3x^2 + 3 wykrese mte jfunkcji jest parabola y = -3x^2 przesunieta o wektor [0,3], czyli o 3 do góry(liczba na końcu wzoru), więc jej wierzchołek jest w punkcie (0,3) odp b zad 9 y=-2x+(3m+3) dla prostej y= ax +b punkt przecięcia z osią Y to punkt (0,b) w tym przykładzie b = 3m+3 aby punktem przecięcia był (0,2) to 3m+3 = 2 3m = 2-3 3m = -1 m = - 1/3 odp b zad 10 w tym zadaniu możesz sobie narysować proste poziome y=0, y=1, y=2, y=3 i sprawdzić w ilu miejscach przecinają wykres tylko prosta y=2 ma 3 punkty przecięcia z wykresem a więc są dokładnie 3 rozwiązania odp c zad 11 a3 = 13, a5 = 39 ze wzoru na nty wyraz ciągu arytmetycznego rozpisujemy a3 i a5 a3 = a1 +(3-1)r 13 = a1 + 2r a5 = a1+(5-1)r 39 = a1+ 4r teraz robimy układ równań {a1+2r=13 /*(-2) {a1+4r = 39 {-2a1-4r=-26 {a1+4r=39 ------------- -a1 = 13 a1 = -13 nie trzeba wyliczaćr bo w zadaniu pytają tylko o a1 odp c zad 12 a1 = 3, a4=24 ze wzoru na nty wyraz ciągu geometrycznego [latex]a_4 = a_1 * g^3\ 24 = 3 * q^3 /:3\ q^3 = 8\ q=2[/latex] odp b zad 13 wzór na liczbę przekątnych n kąta [latex]p = frac{n(n-3)}{ 2}[/latex] dla n=7 mamy [latex]p = frac{7(7-3)}{2} = 14 [/latex] odp b zad 14 [latex]2-cos^2 al = 2 -(1-sin^2 al) = 1 + sin^2 al\ 1 + (frac{3}{4})^2 = 1 + frac{9}{16}=frac {25}{16}[/latex] odp a zad 15 promień okręgu = 4 przekątna kwadratu jest taka jak 2 promienie czyli d=8 wzór na przekątnąkwadratu d = a√2 8 = a√2 /:√2 a = 8/ √2 ( tu w ułamku 8 na górze, √2 na dole) pozbywamy się pierwiastka z mianownika a = 8√2 / 2 = 4√2 odp a zad 16 liczymy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta którego bokami są wysokość (h), połowa podstawy (a=3) i ramię trójkąta równoramiennego (c=5) h^2 + a^2 = c^2 h^2 + 9 = 25 h^2 =25-9 h^2 = 16 h=4 odp b zad 17 odcinek AD oznaczam przez x z tw talesa otrzymuję proporcje [latex]frac{1}{1+x} = frac{3}{9}\ 3(1+x)=1*9\ 3+3x=9\ 3x=9-3\ 3x=6\ x=2[/latex] odp a zad 18 trójkąt ABC jest równoboczny, więc wszystkie jego kąty mają po 60 stopni. kąt C ma 60 stopni kąt przy S jest oparty na tym samym łuku co kąt przy C ale jest kątem środkowym, bo wierzchołek jest w środku okręgu z własności kąt środkowy jest 2 razy większy więc kąt S = 2*60 = 120 stopni odp a zad 19 zacieniowana figura to trójkąt r ównoramienny, składa się z 2 trójkątów prostokątnych, których przeciwprostokątna c =80, a kąt alfa = 30:2 = 15 stopni wysokość oznaczam przez h, a podstawę trójkąta prostokątnego przez a sin 15 = a/ 80 z tablic sin 15 =0,26 0,26 = a/ 80 a =20,8 cos 15 = h/80 z tablic cos 15 = 0,96 0,96 = h/80 h= 76,8 pole calej zamalowanej figury to 2 razy pole trójkąta prostokątnego P = 2 * 1/2 a * h P = 2 * 1/2 * 20,8 * 76,8 P = 1597,44 w przybliżeniu 1600 odp c zad 20 ogólny wzór funkcji y=ax+b y = -3x+5 czyli a = -3 prosta równoległa ma taki sam współczynnik kierunkowy jak ta podana więc a =-3 odp b zad 21 wzór na równanie okręgu x^2 + y^2 = r^2 czyli po prawej stronie równania musi być r do kwadratu (6 ^2 = 36) odp d zad 22 tu korzystamy ze wzoru na odległość punktów A i B [latex]|AB| =sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}}\ |AB| = sqrt{(3+5)^2+(-2-2)^2} = sqrt{64+16}=sqrt{80}=4sqrt5\ [/latex] obwód trójkąta równobocznego to suma boków Obw = 3 * 4√5 = 12√5 odp c zad 23 a=5, b= 3 , H = 4 P = 2ab + 2aH + 2 bH P = 2*5*3 + 2 * 5*4 +2 * 3*4 P = 30+40+24=94 odp a zad 24 ostrosłup ma 18 wierzchołków czyli 1 u góry, a 17 w podstawie, więc w podstawie jest 17 krawędzi krawędzi bocznych też jest 17 bo łączą każdy wierzchołek podstawy z tym u góry razem 17 + 17 = 34 odp d zad 25 wszystkich liczb jest n=10 dodajemy te które są wypisane za x i otrzymujemy 25 więc [latex]frac{25+x}{10}=3\ 25+x = 30\ x=30-25\ x=5[/latex] odp d zad 26 [latex]x^2-x-2 leq 0\ Delta = 1-4*1*(-2)=1+8=9\ x_1 = frac{1-3}{2}=frac{-2}{2}=-1\ x_2=frac{1+3}{2}=frac{4}{2}=2[/latex] wykresem jest parabola, ramiona do góry, przechodzi przez -1 i 2. w punktach -1 i 2 narysuj kółka zamalowane <0 czyli wypisujemy przedział który jest pod osią x należy do przedziału <-1, 2> zad 27 [latex]x^3-7x^2-4x+28=0\ x^2(x-7)-4(x-7)=0\ (x-7)(x^2-4)=0\ (x-7)(x-2)(x+2)=0\ x=7 lub x=2 lub x=-2[/latex] zad 28 trójkąt ABC jest równoramienny więc |AC| = |BC| trójkąt CDE też jest równoramienny więc |CD|= |CE| kąt ACD i kąt DCB tworzą razem kąt 90 stopni kąt DCB i kat BCE też tworzą razem kąt 90 stopni więc kąty ACD i BCE są równe z tego wynika że trójkąty ACD i BCE są podobne, bo mają dwa boki takie same i taki sam kąt jeśli 2 boki są równe to trzeci też czyli |AD| = |BE| zad 29 tg alfa = 5/12 zakładamy że a= 5 b =12 z tw Pitagorasa a^2 + b^2 = c^2 25 + 144 = c^2 c^2=169 c=13 cos alfa = b/c cos alfa = 12/13 zad 30 [latex]frac{a^2+1}{a+1} geq frac{a+1}{2}\ a> 0 to a+1 >0\ mozemy mnozyc przez a+1\ frac{a^2+1}{a+1} geq frac{a+1}{2} /*2(a+1)\ [/latex] [latex]2(a^2+1) geq (a+1)(a+1)\ 2a^2+2 geq a^2 +a+a+1\ a^2 -2a+2-1 geq 0\ a^2-2a+1 geq 0\ (a-1)^2 geq 0[/latex] to jest prawdziwe dla każdej lliczby rzeczywistej a, bo kwadrat każdej liczby jest dodatni lub równy 0 zad 31 obliczam wysokośc trójkąta równobocznego ze wzoru [latex]h= frac{asqrt3}{2}\ h=frac{6sqrt3}{2}=3sqrt3[/latex] podstawę b obliczam z tw Pitagorasa h^2 + b^2 = 6^2 (3√3)^2 + b^2 = 36 27 +b^2 = 36 b^2 = 36-27 b^2 = 9 b= 3 Obw = 6+6+3√3 +3 = 15 + 3√3 zad 32 trójkąty ABD i ACD są podobne bo mają ten sam bok AD oraz CD = BD mają tą samą długośc oraz kąt prosty więc bok AB i AC ma tę samą długość którą obliczę z tw Pitagorasa (RYS W ZAŁ) AD^2 + AB^2 = BD^2 12^2 + AB^2 = 13^2 144+AB^2 =169 AB^2 = 25 AB = 5 trojkątABC jest równoramienny h - obliczam z tw Pitagorasa 3^2 + h^2 = 5^2 9+ h^2 =25 h^2=16 h=4 pole trójkąta P = 1/2 ah P = 1/2 * 6*4 P = 12 objętość V = 1/3 Pp * H V = 1/3 * 12 *12 V = 48 zad 33 omega = 36 A - w pierwszym rzucie otrzymamy parzysta liczbe oczek i iloczyn w obu rzutach jest podzielny przez 12 A = { (2,6) (4,3)(4,6)(6,2)(6,4)(6,6)} moc A = 6 P(A) = 6/36 = 1/6 zad 34 P1 =240 P1= ab ab =240 b= 240/a P2 =350 P2=(a+5)(b+2) (a+5)(b+2)=350 ab+2a+5b+10=350 240 +2a+5 * 240/a +10-350=0 2a +1200/a -100=0 /*a 2a^2 +1200 -100a =0 2a^2 -100a +1200 =0 /:2 a^2 -50a +600=0 delta = 2500 - 4*1*600=2500 - 2400 =100 [latex]a_1= frac{50-10}{2}=20\ a_2=frac{50+10}{2}=30\[/latex] b1= 240/a = 240/20 =12 b2 = 240/30=8 odp pierwszy basen ma wymiary 20 x 12 a drugi 25 x 14 lub pierwszy ma wymiary 30 x 8 a drugi 35 x 10
