Ciąg jest rosnący, jeżeli dla każdego n ∈ N⁺ następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego: [latex]a_{n+1} > a_n[/latex] Ciąg jest malejący, jeżeli dla każdego n ∈ N⁺ następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego: [latex]a_{n+1} < a_n[/latex] [latex]a_n =-frac{7}{n}+1[/latex] [latex]a_{n+1} =-frac{7}{n+1}+1[/latex] [latex]a_{n+1} > a_n [/latex] [latex]-frac{7}{n+1}+1 > -frac{7}{n}+1[/latex] [latex]-frac{7}{n+1}+1 + frac{7}{n}-1> 0[/latex] [latex]-frac{7}{n+1} + frac{7}{n} > 0[/latex] [latex]-frac{7n}{n cdot (n+1)} + frac{7 cdot (n+1)}{n cdot (n+1)} > 0 / cdot [n cdot (n+1)][/latex] [latex]-7n+ 7 cdot (n+1) > 0 [/latex] [latex]-7n+ 7n+7 > 0[/latex] [latex]7 > 0[/latex] Nierówność prawdziwa, czy ciąg (an) jest rosnący. [latex]b_n=frac{1}{2n} +2[/latex] [latex]b_{n+1}=frac{1}{2 cdot(n+1)} +2[/latex] [latex]a_{n+1} < a_n [/latex] [latex]frac{1}{2 cdot(n+1)} +2 < frac{1}{2n} +2[/latex] [latex]frac{1}{2 cdot(n+1)} +2 - frac{1}{2n} -2 < 0 [/latex] [latex]frac{1}{2 cdot(n+1)} - frac{1}{2n} < 0 [/latex] [latex]frac{n}{2n cdot(n+1)} - frac{n+1}{2n cdot(n+1)} < 0 / cdot [2n cdot(n+1)][/latex] [latex]n - n - 1 < 0 [/latex] [latex]-1 < 0[/latex] Nierówność prawdziwa, czy ciąg (bn) jest malejący. Badając monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym, należy zbadać znak różnicy an+1 - an. Jeśli: an+1 - an > 0 to ciąg jest rosnący, an+1 - an < 0 to ciąg jest malejący, an+1 - an = 0 to ciąg jest stały. a) [latex]a_n= -2n + 20 [/latex] [latex]a_{n+1}= -2 cdot (n+1) + 20 = -2n -2 + 20 = -2n + 18[/latex] [latex]a_{n+1} - a_n = -2n + 18 - (-2n + 20) = -2n +18 + 2n - 20 = - 2 < 0[/latex] Ciąg (an) jest malejący. c) [latex]a_n=frac{n}{n+1}[/latex] [latex]a_{n+1}=frac{n}{n+1+1} = frac{n}{n+2}[/latex] [latex]a_{n+1} - a_n = frac{n}{n+2} - frac{n}{n+1} = frac{n cdot (n+1)}{(n+2)(n+1)} - frac{n cdot (n+2)}{(n+2)(n+1)} = frac{n cdot (n+1) - n cdot (n+2)}{(n+2)(n+1)}=[/latex] [latex]= frac{n^2+n - n^2-2n}{(n+2)(n+1)} = frac{-n}{(n+2)(n+1)} < 0 [/latex] Ciąg (an) jest malejący.
