W(x) = 2x³ + nx² - (n + m)·x - 10 W(2) = 2·2³ + n·2² - (n + m)·2 - 10 = 2·8 + 4n - 2n - 2m - 10 = 16 + 2n - 2m - 10 = 2n - 2m + 6 W(2) = 0 2n - 2 m + 6 = 0 W(-5) = 2·(-5)³ + n·(-5)² - (n + m)·(-5) - 10 = 2·(-125) + 25n + 5n + 5m - 10 = -250 + 30n + 5m - 10 = 30n + 5m - 260 W(-5) = 0 30n + 5m - 260 = 0 [latex]left { {{2n-2m+6=0 / cdot (-3)} atop {30n+5m-260=0 / : 5}} ight[/latex] [latex]left { {{-6n+6m-18=0 } atop {6n+m-52=0}} ight [/latex] ________________________ [latex]7m - 70 = 0[/latex] [latex]7m = 70 / : 7[/latex] [latex]m = 10[/latex] [latex]2n-2m+6=0 [/latex] [latex]2n-2 cdot 10+6=0[/latex] [latex]2n-20+6=0[/latex] [latex]2n - 14 = 0[/latex] [latex]2n = 14 / : 2[/latex] [latex]n = 7[/latex] [latex]left { {{m = 10} atop {n = 7}} ight[/latex] Spr. W(x) = 2x³ + nx² - (n + m)·x - 10 W(x) = 2x³ + 7x² - 17x - 10 W(2) = 2·2³ + 7·2² - 17·2 - 10 = 2·8 + 7·4 - 34 - 10 = 16 + 28 - 34 - 10 = 0 W(-5) = 2·(-5)³ + 7·(-5)² - 17·(-5) - 10 = 2·(-125) + 7·25 + 85 - 10 = - 250 + 175 + 85 - 10 = 0 Odp. m = 10, n = 7.
Skoro 2 jest pierwiastkiem wielomianu [latex]2x^3+nx^2-(n+m)-10[/latex], to znaczy, że [latex]2 cdot 2^3+n cdot 2^2-(n+m) cdot 2-10=0[/latex], czyli [latex]2 cdot 8+n cdot 4-(n+m) cdot 2-10=0[/latex] [latex]16+2n - 2m-10=0[/latex] [latex]6+2n - 2m=0 /div 2[/latex] [latex]3+n - m=0[/latex] (*) Skoro -5 jest pierwiastkiem wielomianu [latex]2x^3+nx^2-(n+m)-10[/latex], to znaczy, że [latex]2 cdot (-5)^3+n cdot (-5)^2-(n+m) cdot (-5)-10=0[/latex], czyli [latex]2 cdot (-125)+n cdot 25+(n+m) cdot 5-10=0[/latex] [latex]-250+25n+5n+5m-10=0[/latex] [latex]-260+30n+5m=0 / div 5[/latex] [latex]-52+6n+m=0 [/latex] (**) Dodając stronami równania (*) i (**) dostaniemy: [latex]-49 + 7n = 0[/latex], czyli [latex]n = 7[/latex]. Podstawiając n=7 do równania (*) otrzymamy: [latex]3 + 7 - m = 0[/latex] [latex]10 - m = 0[/latex] m = 10. Odp.: n=7, m = 10.
