a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 11¹⁰-1=(11-1)(11⁹+11⁸+11⁷+11⁶+11⁵+11⁴+11³+11²+11+1) zatem podzielne przez 10 2*9¹⁰⁰-9⁹⁹-9⁹⁸==9⁹⁸(162-9-1)=9⁹⁸*152=9⁹⁸*19*8 zatem podzielne przez 19
Zad. 1 Wykorzystamy wzór na różnicę n-tych potęg liczb: [latex]a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}) [/latex] Stąd: [latex]a =11^{10}-1 = 11^{10} - 1^{10} = (11 - 1)(11^9 + 11^8 + 11^7 + 11^6 + 11^5 + 11^4 + 11^3 + [/latex] [latex]+11^2 + 11 + 1) = 10 cdot (11^9 + 11^8 + 11^7 + 11^6 + 11^5 + 11^4 + 11^3 + 11^2 + 11 + 1)[/latex] Zatem: Iloczyn jest podzielny przez 10, czyli liczba [latex]a =11^{10}-1 [/latex] jest podzielna przez 10. Zad. 2 [latex]2 cdot 9^{100}-9^{99}-9^{98} = 9^{98} cdot (2 cdot 9^2 - 9^1 - 1) = 9^{98} cdot (2cdot 81 - 9 - 1) = [/latex] [latex]= 9^{98} cdot (162 - 10) = 9^{98} cdot 152 = 9^{98} cdot 19 cdot 8 [/latex] Zatem: Iloczyn jest podzielny przez 19, czyli liczba [latex](2 cdot 9^{100} - 9^{99} - 9^{98})[/latex] jest podzielna przez 19.
