[latex]n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2-1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)(n^2 +1) = \ =(n-1)n(n+1)(n^2 -4+5) = (n-1)n(n+1)[ n^2 - 2^2 + 5)]= \ =(n-1)n(n+1)[ (n-2)(n+2) + 5 ] =\ =(n-1)n(n+1)(n-2)(n+2) + 5(n-1)n(n+1) =\ =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 5(n-1)n(n+1)[/latex] mamy sumę dwóch składników 1) jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb naturalnych, czyli dzieli się przez 2, 3 oraz 5 2) jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych (czyli dzieli się przez 2 i 3) i 5, zatem dzieli się również przez 2,3 i 5 2cdot 3cdot 5 = 30 ponieważ oba czynniki sumy dzielą się przez 30 to i cała suma dzieli się przez 30
