Prosze o rozwiazenie zadania "zbadaj monotoniczność ciągów"

a) [latex]a_n=(frac{1}{2})^n\a_{n+1}=(frac{1}{2})^{n+1}=frac{1}{2}cdot(frac{1}{2})^n\a_{n+1}-a_n=frac{1}{2}cdot(frac{1}{2})^n-(frac{1}{2})^n=-frac{1}{2}cdot(frac{1}{2})^n<0[/latex] ciąg jest malejący b) [latex]a_n=-2n-3\a_{n+1}=-2(n+1)-3=-2n-2-3=-2n-5\a_{n+1}-a_n=-2n-5+2n+3=-2<0[/latex] ciąg malejący c) [latex]a_n=n^2+2n\a_{n+1}=(n+1)^2+2(n+1)=n^2+2n+1+2n+2=n^2+4n+3\a_{n+1}-a_n=n^2+4n+3-n^2-2n=2n+3>0[/latex] ciąg rosnący

1) an+1 - an= [latex] (1/2)^{n+1} [/latex]-[latex] (1/2)^{n} [/latex]=[latex] (1/2)^{n} [/latex]·(1/2)-[latex] (1/2)^{n} [/latex]=[latex] (1/2)^{n} [/latex] · (1/2 - 1)= -1/2 ·[latex] (1/2)^{n} [/latex], n jest liczbą naturalną, [latex] (1/2)^{n} [/latex] jest liczbą dodatnią, więc -1/2 ·[latex] (1/2)^{n} [/latex] jest liczbą ujemną, a to znaczy, że ciąg jest malejący.  2) an+1 - an= -2(n+1)-3-(-2n-3)=-2n-2-3+2n+3=-2, więc ciąg jest malejący.  3) an+1 - an= (n+1)²+2(n+1)-n²-2n=n²+2n+1+2n+2-n²-2n=2n+3, ponieważ n jest liczbą naturalną, 2n+3 również jest liczbą naturalną (czyli dodatnią), więc ciąg jest rosnący.