1. a1=2 an+1= 2/an a2= 2/a1= 2/2=1 a3= 2/a2= 2/1= 2 a4= 2/a3= 2/2= 1 2. an= 2n+1 an+1 - an= 2(n+1)+1 - 2n- 1 an+1- an= 2n+3- 2n-1 an+1- an= 2 ciag jest rosnacy bn= (6n+1)/2 bn+1- bn= [6(n+1)+1]/2- (6n+1)/2 bn+1- bn= (6n+ 7- 6n-1)/2 bn+1- bn= 6/2= 3 ciag jest rosnacy 3. an= 2n-1 roznica (r)musi byc stala an+1=2(n+1)-1= 2n+1 an+2= 2(n+2)-1= 2n+3 an+1- an= 2n+1- 2n+1= 2= r an+2- an+1= 2n+3- 2n-1= 2= r jest arytmetyczny bn= 2n²-3 bn+1= 2(n+1)²-3= 2n²+ 4n-1 bn+2= 2(n+2)²- 3= 2n²+ 8n+5 bn+1- bn= 2n²+ 4n-1- 2n²+3= 4n+2 bn+2- bn+1=2n²+ 8n+5- 2n²- 4n+1= 4n+6 nie jest arytmetyczny 4. q musi byc stale an= 2^n an+1= 2^(n+1) an+2= 2^(n+2) an+1 / an= 2 an+2/ an+1= 2 jest geometryczny bn= n²+1 bn+1= n²+ 2n+ 2 bn+2= n²+ 4n + 5 bn+1/ bn ≠ bn+2/ bn+1 nie jest geometryczny 5. -45, x, 75- c. aryt. x, 75, y- c geo. a) a1= -45 a3= 75 a2= (a1+ a3)/2 a2= 15= x b) 15, 75, y a1= 15 a2= 75 a3= y q= a2/ a1 q= 5 y=75q= 375 odp. x=15, y= 375 6. a) a1= 4 a2= x a3= 64 a2/a1= q a3/a2= q a2/ a1= a3/ a2 a2²= a1* a3 a2²= 256 a2>0 a2= 16= x b) 16, 64, y r= a2- a1= 64- 16= 48 r= a3- a2= y- 64 y- 64= 48 y= 64+ 48 y= 112 odp. x=16, y= 112 liczę na NAJ ;)
zad 1 [latex]a_{n+1}=frac{2}{a_{n}}\ a_{1}=2\ a_{2}=a_{1+1}=frac{2}{a_{1}}=1\ a_{3}=a_{2+1}=frac{2}{a_{2}}=2\ a_{4}=a_{3+1}=frac{2}{a_{3}}=1[/latex] zad 2 [latex]a_{n}=1+2n\ a_{n+1}=1+2(n+1)=1+2n+2=3+2n\ a_{n+1}-a_{n}=3+2n-(1+2n)=3+2n-1-2n=2>0[/latex] Ciąg jest rosnący. [latex]b_{n}=frac{6n+1}{2}\ b_{n+1}=frac{6(n+1)+1}{2}=frac{6n+7}{2}\ b_{n+1}-b_{n}=frac{6n+7}{2}-frac{6n+1}{2}=frac{6n+7-6n-1}{2}=frac{6}{2}=3>0[/latex] Ciąg jest rosnący. zad 3 [latex]a_{n}=2n-1\ a_1=1\ a_2=3\ a_3=5\ a_{3}-a_{2}=a_{2}-a_{1}\ 5-3=3-1\ 2=2[/latex] Ciąg jest arytmetyczny. [latex]b_{n}=2n^{2}-3\ b_{1}=-1\ b_{2}=5\ b_{3}=15\ 15-5 eq 5+1\ 10 eq 6[/latex] Ciąg nie jest arytmetyczny zad 5 1. (-45, x, 75) - by arytmetyczny [latex]a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}\ 75-x=x+45\ 2x=75-45\ 2x=30\ x=15[/latex] 2.(15, 75, y) - by geometryczny [latex]frac{a_{n+1}}{a_{n}}=frac{a_{n}}{a_{n-1}}\ frac{y}{75}=frac{75}{15}\ 15y=5625\ y=375[/latex] zad 6 1. (4, x, 64) - by geometryczny [latex]frac{64}{x}=frac{x}{4}\ x^{2}=256\ x=16[/latex] 2. (16, 64, y) - by arytmetyczny [latex]y-64=64-16\ y=112[/latex] zad 4 [latex]a_{n+1}=2^{n+1}\ a_{n}=2^{n}\ a^{n-1}=2^{n-1}\ frac{a_{n+1}}{a_{n}}=frac{a_{n}}{a_{n-1}} [/latex] [latex]frac{2^{n+1}}{2^{n}}=frac{2^{n}}{2^{n-1}}\ 2^{n}*2^{n}=2^{n+1}*2^{n-1}\ 2^{n+n}=2^{n+1+n-1}\ 2^{2n}=2^{2n}[/latex] Ciąg jest geometryczny. [latex]b_{n+1}=(n+1)^{2}+1=n^{2}+2n+2\ b_{n}=n^{2}+1\ b_{n-1}=(n-1)^{2}+1=n^{2}-2n+2\ [/latex] [latex]frac{n^{2}+2n+2}{n^{2}+1}=frac{n^{2}+1}{n^{2}-2n+2}\ n^{4}+2n^{2}+1=n^{4}+2n^{2}+4\ L eq P[/latex] Ciąg nie jest geometryczny.
