Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów x , dla których dana funkcja jest określona. Dla podanej funkcji: - wyrażenie występujące w mianowniku musi być różne od 0 - liczba logarytmowana musi być większa od 0, - wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym (lub parzystego stopnia) musi być większe bądź równe 0. Zatem funkcja będzie określona jeśli: [latex] 9-x^2 eq 0 wedge frac{x+1}{9-x^2} > 0 wedge log_{frac{1}{2}} frac{x+1}{9-x^2} geq 0 [/latex] 1) [latex]9-x^2 eq 0 [/latex] Ustalimy, dla jakich jest równe zero i te liczby wyeliminujemy z dziedziny. [latex]9-x^2 = 0[/latex] [latex](3 - x)(3 + x) = 0[/latex] [latex]3 - x = 0 vee 3 + x = 0[/latex] [latex]3 - x = 0 [/latex] [latex]- x = - 3 / cdot (-1)[/latex] [latex]x = 3[/latex] [latex]3 + x = 0[/latex] [latex]x = - 3[/latex] Zatem: [latex]x in R ackslash {-3; 3 }[/latex] 2) [latex]frac{x+1}{9-x^2} > 0 [/latex] Przekształcimy tę nierówność równoważnościowo do postaci wielomianowej: [latex](x+1)(9-x^2) > 0 wedge 9-x^2 eq 0[/latex] [latex](x+1)(9-x^2) > 0 [/latex] [latex](x+1)(3 - x)(3 + x) > 0 [/latex] Znajdujemy miejsca zerowe wielomianu: [latex](x+1)(3 - x)(3 + x) = 0[/latex] [latex]x+1 = 0 vee 3 - x = 0 vee 3 + x = 0 [/latex] [latex]x+1 = 0 [/latex] [latex]x = - 1[/latex] [latex]3 - x = 0 [/latex] [latex]- x = - 3 / cdot (-1)[/latex] [latex]x = 3[/latex] [latex]3 + x = 0[/latex] [latex]x = - 3[/latex] Zaznaczamy miejsca zerowe na osi liczbowej, rysujemy przybliżony wykres zaczynając od prawej strony z dołu (bo a < 0) i wykres przecina oś OX w miejscach zerowych (bo pierwiastki są 1-krotne). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie z uwzględnieniem, że x ≠ -3 i x ≠ 3, co wynika z warunku 9 - x ≠ 0 (został on rozwiązany w pkt. 1): [latex]x in (- infty; - 3) cup (-1; 3)[/latex] 3) [latex]log_{frac{1}{2}} frac{x+1}{9-x^2} geq 0 [/latex] [latex]log_{frac{1}{2}} frac{x+1}{9-x^2} geq log_{frac{1}{2}} 1 [/latex] [latex]frac{x+1}{9-x^2} leq 1 wedge 9-x^2 > 0 [/latex] [latex]frac{x+1}{9-x^2} - 1 leq 0[/latex] [latex]frac{x+1}{9-x^2} - frac{9-x^2}{9-x^2} leq 0 [/latex] [latex]frac{x+1 - (9-x^2)}{9-x^2} leq 0 [/latex] [latex]frac{x+1 - 9+x^2}{9-x^2} leq 0 [/latex] [latex]frac{x^2+x - 8}{9-x^2} leq 0 [/latex] Przekształcimy tę nierówność równoważnościowo do postaci wielomianowej: [latex](x^2+x - 8)(9-x^2) leq 0 wedge 9-x^2 eq 0[/latex] [latex](x^2+x - 8)(9-x^2) leq 0 [/latex] Znajdujemy miejsca zerowe wielomianu: [latex](x^2+x - 8)(9-x^2) = 0 [/latex] [latex]x^2+x - 8 = 0 vee 9-x^2 = 0[/latex] [latex]x^2+x - 8 = 0 [/latex] [latex]Delta = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-8) = 1 + 32 = 33; sqrt{Delta} = sqrt{33}[/latex] [latex]x_1 = frac{-1-sqrt{33}}{2 cdot 1} = frac{-1-sqrt{33}}{2} [/latex] [latex]x_2 = frac{-1+sqrt{33}}{2 cdot 1} = frac{sqrt{33} - 1}{2} [/latex] [latex]9-x^2 = 0[/latex] [latex](3 - x)(3 + x) = 0[/latex] [latex]3 - x = 0 vee 3 + x = 0[/latex] [latex]3 - x = 0 [/latex] [latex]- x = - 3 / cdot (-1)[/latex] [latex]x = 3[/latex] [latex]3 + x = 0[/latex] [latex]x = - 3[/latex] Zaznaczamy miejsca zerowe na osi liczbowej, rysujemy przybliżony wykres zaczynając od prawej strony z dołu (bo a < 0) i wykres przecina oś OX w miejscach zerowych (bo pierwiastki są 1-krotne). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie z uwzględnieniem, że x ≠ -3 i x ≠ 3, co wynika z warunku 9 - x ≠ 0 (został on rozwiązany w pkt. 1): [latex]x in (-infty; frac{-1-sqrt{33}}{2} angle cup (-3; frac{sqrt{33} - 1}{2} angle cup (3; +infty) [/latex] [latex]frac{x+1}{9-x^2} > 0 [/latex] patrz pkt. 2 [latex]x in (- infty; - 3) cup (-1; 3)[/latex] Uwzględniając wszystkie założenia, czyli [latex]x in (-infty; frac{-1-sqrt{33}}{2} angle cup (-3; frac{sqrt{33} - 1}{2} angle cup (3; +infty) wedge x in (- infty; - 3) cup (-1; 3) [/latex] otrzymujemy: [latex]x in (-infty; frac{-1-sqrt{33}}{2} angle cup (-1; frac{sqrt{33} - 1}{2} angle [/latex] Ostatecznie biorąc pod uwagę ustalenia dla wszystkich warunków ustalonych w punktach 1 – 3, czyli: z 1) [latex]x in R ackslash {-3; 3 }[/latex] z 2) [latex]x in (- infty; - 3) cup (-1; 3)[/latex] z 3) [latex]x in (-infty; frac{-1-sqrt{33}}{2} angle cup (-1; frac{sqrt{33} - 1}{2} angle [/latex] otrzymujemy: [latex]x in (-infty; frac{-1-sqrt{33}}{2} angle cup (-1; frac{sqrt{33} - 1}{2} angle [/latex]
