Zad.1.Wiadomo, że suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu (an ) wyraża się wzorem Sn = 2n^ 2 + 3n a) wyznacz wzór na wyraz ogólny tego ciągu b) wykaż, że ciąg ( an) jest arytmetyczny bardzo pilne ;)

Sn = 2 n^2 + 3 n a) a1 = S1 = 2* 1^2 + 3*1 = 2+3 = 5 S2 = a1 + a2 => a2 = S2 - a1 = [2*2^2 +3*2 ] - 5 = 14 - 5 = 9 a2 = 9 S3 = S2 + a3  => a3 = S3 - S2 = [ 2*3^2 + 3*3 ] - 14 = 27 - 14 = 13 a3 = 13 Mamy a2 - a1 = 9 - 5 = 4 oraz  a3 - a2 = 13 - 9 = 4 Jest to ciąg arytmetyczny  o  a1 = 5  i  r = 4 czyli an = a1 + (n -1)*r = 5 + ( n - 1)*4 = 5 + 4 n - 4 = 4 n  + 1 Odp. an = 4 n + 1 =================== II  sposób: a1 + a2 + .... + an + an +1 = Sn+1 czyli  Sn + an+1 = Sn+1 an+1 = Sn+1 - Sn = 2*(n +1)^2 + 3*(n + 1)  - [ 2 n^2 + 3 n ] = = 2*( n^2 +2 n + 1 ] + 3 n + 3  - 2 n^2 - 3 n = 4 n + 5 an + 1 = 4 n + 5 czyli   an = 4*(n -1) + 5 = 4 n - 4 + 5 = 4 n + 1 Odp.  an = 4 n + 1 =================== b) Z poprzedniego punktu mamy an = 4 n + 1  oraz  an +1 = 4 n + 5 zatem an+1  - an = 4 n + 5  - [ 4 n + 1 ] = 4 r = 4  Jest to ciąg arytmetyczny  o a1 = 5  i  r = 4 ========================================