Zad. 1 [latex]a_n=frac{5}{9}n^2-5; n in N^+ [/latex] [latex]a_n < 10[/latex] Zatem: [latex]frac{5}{9}n^2-5 < 10[/latex] [latex]frac{5}{9}n^2-5 - 10 < 0[/latex] [latex]frac{5}{9}n^2- 15 < 0 / :frac{5}{9}[/latex] [latex]n^2- 27 < 0 [/latex] Szukamy miejsc zerowych [latex]n^2- 27 = 0[/latex] [latex]n^2- (sqrt{27})^2 = 0[/latex] [latex](n -sqrt{27})(n +sqrt{27}) = 0[/latex] [latex]n -sqrt{27} = 0 vee n +sqrt{27} = 0[/latex] [latex]n -sqrt{27} = 0 [/latex] [latex]n = sqrt{27}[/latex] [latex]n =sqrt{9 cdot 3}[/latex] [latex]n =3sqrt{3} approx 5,2[/latex] [latex]n +sqrt{27} = 0[/latex] [latex]n = - sqrt{27}[/latex] [latex]n =- sqrt{9 cdot 3}[/latex] [latex]n =- 3sqrt{3} approx - 5,2[/latex] Zaznaczamy miejsca zerowe -3√3 i 3√3 na osi i rysujemy przybliżony wykres - parabolę, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 1 > 0. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie: [latex]x in (- 3sqrt{3}; 3sqrt{3})[/latex] Uwzgledniając warunek, że n ∈ N⁺ otrzymujemy: [latex]x in {1; 2; 3; 4; 5 }[/latex] Odp. Wyrazy ciągu (an) mniejsze od 10 to wyrazy: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅. Zad. 2 [latex]-3(x-4)(x-8)(x-c)=0 / : (-3)[/latex] [latex](x-4)(x-8)(x-c)=0 [/latex] [latex]x-4 = 0 vee x-8 = 0 vee x-c=0[/latex] [latex]x-4 = 0[/latex] [latex]x = 4[/latex] [latex]x-8 = 0[/latex] [latex]x = 8[/latex] [latex]x-c=0[/latex] [latex]x = c[/latex] Z uzyskanych rozwiązań możemy uzyskać nastepujące ciągi: 1) 4, 8, c 2) 4, c, 8 3) 8, 4, c 4) 8, c, 4 5) c, 4, 8 6) c, 8, 4 Jednak zgodnie z warunkami zadania mają to być ciągi rosnące, czyli należy uwzględnić warunki dla rosnącego ciągu geometrycznego: Ciąg geometryczny jest rosnący wtedy gdy: a₁ > 0 i q > 0 lub a₁ < 0 i q ∈ (0, 1), gdzie a₁ to pierwszy wyraz ciągu, q to iloraz ([latex]q = frac{a_{n+1}}{a_n}[/latex]) Zatem odrzucamy ciągi 3, 4 i 6. Pozostają nam ciągi: 1, 2 i 5. 1) 4, 8, c q = 8 : 4 = 2 c = 8 · 2 = 16 Ciąg: 4, 8, 16 2) 4, c, 8 z własności ciągu: c² = 4 · 8 c² = 32 c = √32 lub c = - √32 c = - √32 odrzucamy, bo ciąg ma być rosnący, zatem c = √32 = √16·2 = 4√2 Ciąg: 4, 4√2, 8 5) c, 4, 8 q = 8 : 4 = 2 c · 2 = 4 /: 2 c = 2 Ciąg: 2, 4, 8 Odp. Ciągi, które tworzą rozwiązania równania to: 4, 8, 16 i 4, 4√2. 8 oraz 2, 4, 8.
