1. [latex]x^3 +2x^2-3x=0[/latex] [latex]x cdot (x^2 +2x-3)=0[/latex] [latex]x = 0 vee x^2 +2x-3 =0[/latex] [latex]x = 0[/latex] [latex]x_1 = 0[/latex] [latex]x^2 +2x-3 =0[/latex] [latex]Delta =2^2 - 4 cdot 1 cdot (-3) = 4 + 12 = 16; sqrt{Delta} = 4[/latex] [latex]x_2 = frac{-2-4}{2 cdot 1} = frac{-6}{2} = -3[/latex] [latex]x_3 = frac{-2+4}{2 cdot 1} = frac{2}{2} = 1[/latex] Odp. x = - 3 lub x = 0 lub x = 1 2. 9x³+18x - x -2 ≥ 0 czyli 9x³+17x -2 ≥ 0, a tę nierówność można jedynie rozwiązać stosując wzory Cardano (te wzory raczej w szkole średniej nie są wprowadzane) i dlatego myślę, że chyba chodzi o nierówność postaci: [latex]9x^3+18x^2 - x -2 geq 0[/latex] Znajdujemy miejsca zerowe: [latex]9x^3+18x^2 - x -2 =0[/latex] [latex]9x^2 cdot (x+2)- 1 cdot (x +2) =0[/latex] [latex](x +2)(9x^2 - 1)=0[/latex] [latex](x +2)(3x - 1)(3x +1)=0[/latex] [latex]x +2 = 0 vee 3x - 1 = 0 vee 3x +1=0[/latex] [latex]x +2 = 0[/latex] [latex]x = -2[/latex] [latex]3x - 1 = 0[/latex] [latex]3x = 1[/latex] [latex]x = frac{1}{3}[/latex] [latex]3x + 1 = 0[/latex] [latex]3x = -1[/latex] [latex]x = -frac{1}{3}[/latex] Zaznaczamy miejsca zerowe -2; - ⅓; ⅓ na osi i rysujemy przybliżony wykres - zaczynamy rysować z prawej strony od góry, bo a = 9 >0 i wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki te są 1-krotne (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności: [latex]x in langle -2; -frac{1}{3} angle cup langle frac{1}{3}; +infty)[/latex] Odp. [latex]x in langle -2; -frac{1}{3} angle cup langle frac{1}{3}; +infty)[/latex] 3. [latex]frac{2x-5 }{x^2 - 4} geq 0[/latex] [latex]frac{2x-5 }{(x-2)(x+2)} geq 0[/latex] Jest to nierówność wymierna, więc przekształcimy ją równoważnościow do postaci nierówności wielomianowej, zatem: [latex](2x-5)(x - 2)(x+2) geq 0 i (x - 2)(x+2) eq 0 [/latex] [latex](x - 2)(x+2) eq 0[/latex] [latex]x - 2 eq 0 wedge x+2 eq 0[/latex] [latex]x - 2 eq 0[/latex] [latex]x eq 2[/latex] [latex]x+2 eq 0[/latex] [latex]x eq -2[/latex] [latex](2x-5)(x - 2)(x+2) geq 0[/latex] Znajdziemy miejsca zerowe: [latex](2x-5)(x - 2)(x+2) =0[/latex] [latex]2x-5 = 0 vee x - 2 = 0 vee x+2 =0[/latex] [latex]2x-5 = 0[/latex] [latex]2x=5 / :2[/latex] [latex]x = frac{5}{2}[/latex] [latex]x = 2frac{1}{2} = 2,5[/latex] [latex]x - 2 = 0[/latex] [latex]x = 2[/latex] [latex]x+2 =0[/latex] [latex]x = - 2[/latex] Zaznaczamy miejsca zerowe -2; 2; 2½ na osi i rysujemy przybliżony wykres - zaczynamy rysować z prawej strony od góry, bo a = 2 >0 i wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki te są 1-krotne (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności: [latex]x in langle -2; 2 angle cup langle 2frac{1}{2}; +infty)[/latex] W rozwiązaniu musimy uwzględnić, że x ≠ -2 i x ≠ 2, zatem ostatecznie otrzymujemy nastepujące rozwiązanie nierówności wymiernej: [latex]x in (-2; 2)cup langle 2frac{1}{2}; +infty)[/latex] Odp. [latex]x in (-2; 2)cup langle 2frac{1}{2}; +infty)[/latex]
