Zadanie: Wykaż, że ciąg (An) jest rosnący, a (Bn) malejący a) An = n^2 + 3n - 10 Bn = -5n^2 + 10 ( n^2 - to oznacza - n do potęgi 2 ) czekam na szybkie rozwiązania przykładu :>

Żeby zbadać czy ciąg jest malejący trzeba obliczyć An+1 Niech n do N+ tak więc liczymy: An+1= (n+1)^2 +3(n+1) -10 = n^2+2n+1+3n+3-10=n^2+5n-6 badam znak różnicy: An+1 -An= n^2+5n-6 -n^2 -3n+10= 2n+4 >0 bo n należy do N+ czyli ciąg jest rosnący Analogicznie drugi: Bn+1=-5(n+1)^2 +10= -5(n^2+2n+1)+10 = -5n^2 -10n -5 +10= -5n^2 - 10n +5 badamy znak różnicy Bn+1-Bn=-5n^2 -10n+5 +5n^2 -10 = -10n - 5<0 bo n należy do N+ zatem ciąg jest malejący

a) Ciąg (an) jest rosnący jeśli każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, czyli gdy [latex]a_{n+1} - a_n > 0[/latex]   [latex]a_n = n^2 + 3n - 10[/latex] [latex]a_{n+1} = (n+1)^2 + 3 cdot (n+1) - 10 = n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 - 10 = n^2+5n-6[/latex] [latex]a_{n+1} - a_n = n^2+5n-6 - (n^2 + 3n - 10) = n^2+5n-6 - n^2 - 3n + 10 =[/latex] [latex]= 2n + 4 > 0[/latex] Zatem ciąg (an) jest rosnący, bo [latex]a_{n+1} - a_n > 0[/latex] dla dowolnego n ∈ N⁺   b) Ciąg (an) jest malejący, jeśli każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, czyli gdy [latex]a_{n+1} - a_n < 0[/latex]   [latex]b_n = -5n^2 + 10[/latex] [latex]b_{n+1} = -5 cdot (n+1)^2 + 10 = - 5 cdot (n^2+2n+1) + 10 = -5n^2 - 10n -5 + 10=[/latex] [latex]= -5n^2 - 10n+ 5[/latex] [latex]b_{n+1} - b_n = -5n^2 - 10n+ 5 - (-5n^2 + 10) = -5n^2 - 10n+ 5 + 5n^2 - 10 = [/latex] [latex]= - 10n - 5 < 0 [/latex] Zatem ciąg (bn) jest rosnący, bo [latex]b_{n+1} - b_n < 0[/latex] dla dowolnego n ∈ N⁺