Rozwiązanie w załączniku.
[latex]a=13\ b=13\ c=20\ a^2+b^2=169+169=338 extless 400=20^2=c^2\ a^2+b^2 extless c^2\[/latex] Wobec tego jest to trójkąt rozwartokątny. Wzór na pole wygląda następująco: [latex]P=frac{abc}{4R}[/latex] Pole trójkąta obliczymy ze wzoru Herona i promień okręgu opisanego na tym trójkącie: [latex]p=0,5(13+13+20)=0,5 cdot 46=23\ P=sqrt{23 cdot 10 cdot 10 cdot 3}=10sqrt{69}\ 10sqrt{69}=frac{3380}{4R}=frac{845}{R}\ 10sqrt{69}=frac{845}{R}\ R=frac{845}{10sqrt{69}}=frac{169sqrt{69}}{138}[/latex] Jedną ze środkowych jest wysokość opuszczona na bok długości 20, zatem: [latex]h^2+10^2=13^2\ h^2+100=169\ h^2=69\ h=sqrt{69}[/latex] Pozostałe dwie środkowe mają równe długości.Obliczmy zatem szukaną długość. Oznaczmy przez [latex] alpha [/latex] kąt wewnętrzny leżący przy podstawie trójkąta, wtedy: [latex]13^2=20^2+13^2-2 cdot 20 cdot 13 cos alpha\ 169=569-520 cos alpha\ 400=520 cos alpha|:520\ cosalpha=frac{10}{13}\ [/latex] Obliczmy długość środkowej z twierdzenia cosinusów: [latex]s^2=20^2+(6,5)^2-2 cdot 20 cdot 6,5 cosalpha\ s^2=442,25-260 cosalpha\ s^2=442,25-260 cdot frac{10}{13}\ s^2=442,25-200\ s^2=242,25\ s=frac{sqrt{969}}{2}[/latex]
