Oblicz: a)[latex]( 3 sqrt{2}- sqrt{3}) ^{2}=[/latex] b)[latex](2 sqrt{5}- 5sqrt{2})( 2sqrt{5}+5 sqrt{2})=[/latex] Usuń niewymierność z mianownika: [latex] frac{ sqrt{3}- sqrt{2} }{ sqrt{3}+ sqrt{2} } [/latex] Przedstaw w postaci logarytmu: [latex]3-log _

1. a) [latex](3sqrt{2}-sqrt{3})^2=18-6sqrt{6}+3=21-6sqrt{6}[/latex] b) [latex](2sqrt{5}-5sqrt{2})(2sqrt{5}+5sqrt{2})=20-50=-30[/latex] 2. [latex]frac{sqrt{3}-sqrt{2}}{sqrt{3}+sqrt{2}}=frac{(sqrt{3}-sqrt{2})^2}{(sqrt{3}+sqrt{2})(sqrt{3}-sqrt{2})}=frac{3-2sqrt{6}+2}{3-2}=frac{5-2sqrt{6}}{1}=5-2sqrt{6}[/latex] 3. [latex]3-log_43=log_44^3-log_43=log_464-log_43=log_4frac{64}{3}[/latex] 4. Niech x, y będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi [latex]x^2-8x=x^2-8x+16-16=(x-4)^2-16\y^2+y=y^2+y+0,25-0,25=(y+0,5)^2-0,25[/latex] [latex]x^2-8x+y^2+y+16,5=(x-4)^2-16+(y+0,5)^2-0,25+16,5=\=(x-4)^2+(y+0,5)^2+0,25[/latex] Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Stąd: [latex](x-4)^2ge0\(y+0,5)^2ge0\(x-4)^2+(y+0,5)^2+0,25ge0,25ge0[/latex] Czyli dla dowolnej pary liczb rzeczywistych x, y mamy: [latex]x^2-8x+y^2+y+16,5ge0[/latex] A tego należało dowieść. 5. [latex]2log_35+1=log_35^2+log_33=log_325+log_33=log_3(25cdot3)=log_375[/latex]

Zadanie 1 [latex]mathbf{Potrzebne tutaj wzory skroconego mnozenia:} \ oxed{mathrm{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}} \ oxed{mathrm{(a-b)(a+b)=a^2-b^2}} \ \ mathrm{(a) (3 sqrt{2} -sqrt{3} )^2=(3sqrt{2})^2-2 cdot 3sqrt{2} cdot sqrt{3} +(sqrt{3})^2=} \ mathrm{ =18-6sqrt{6}+3=21-6sqrt{6}} \ \ mathrm{(b) (2sqrt{5}-5sqrt{2})(2sqrt{5}+5sqrt{2})=(2sqrt{5})^2-(5sqrt{2})^2=} \ mathrm{ =20-50=-30}[/latex] Zadanie 2 [latex]mathrm{ frac{ sqrt{3}- sqrt{2} }{ sqrt{3}+ sqrt{2} } = frac{ sqrt{3}- sqrt{2} }{ sqrt{3}+ sqrt{2} } cdot frac{sqrt{3}- sqrt{2}}{sqrt{3}- sqrt{2}}= frac{(sqrt{3}- sqrt{2})^2}{(sqrt{3}+sqrt{2})(sqrt{3}- sqrt{2})} = frac{3-2 sqrt{6} +2}{3-2} =5-2 sqrt{6} }[/latex] Zadanie 3 [latex]mathrm{3-log_43=log_464-log_43=log_4 frac{64}{3} } \ \ mathrm{2log_35+1=log_35^2+1=log_325+1=log_325+log_33=} \ mathrm{ =log_3(25 cdot 3)=log_375} \ \ oxed{ mathrm{log_ab=c iff a^c=b} } mathrm{ gdzie a,b,x,y extgreater 0 wedge a eq 1 }\ oxed{ mathrm{log_ax-log_ay=log_a frac{x}{y} } } \ oxed{ mathrm{r log_ab=log_ab^r} } \ oxed{ mathrm{log_ax+log_ay=log_a(xy)}}[/latex] Zadanie 4 [latex]mathrm{ Jesli x,y in mathbb{R} to x^2-8x+y^2+y+16,5 geq 0} \ \ mathrm{Niech x,y in mathbb{R},} \ \ mathrm{Przeksztalcamy rownowaznie:} \ mathrm{x^2-8x+y^2+y+16,5 geq 0} \ mathrm{ underline{x^2-8x+16} -16+underline{y^2+y+0,25}-0,25+16,5 geq 0} \ mathrm{(x-4)^2+(y+0,5)^2+0,25 geq 0} \ \ mathrm{(x-4)^2+(y+0,5)^2+0,25 geq 0 - prawda, bo mamy tutaj } \ mathrm{kwadraty dwoch liczb rzeczywistych i liczbe dodatnia, kwadrat } }[/latex] [latex]mathrm{liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, czyli cale wyrazenie } \ mathrm{bedzie nieujemne. } \ \ mathrm{Ostatania nierownosc jest prawdziwa, a przeksztalcenia byly } \ mathrm{rozwnowazne, zatem teza jest prawdziwa, co konczy dowod.}[/latex]