Określ dziedzinę funkcji f(x) = [latex] frac{ sqrt{x^{2}+x-6 } }{9- x^{2} } [/latex] ja policzyłam tak: ([latex] frac{ sqrt{ x^{2} +x-6} }{ sqrt{9+ x^{2} } } )^{2} = frac{x^{4}+ x^{2} -36 }{81- x^{4} } [/latex] 81-[latex] x^{4} eq 0[/latex] 81=[late

Wyrazenie pod pierwiastkiem kwadratowym ma byc nieujemne i mianownik rozny od 0. x² +x - 6 ≥ 0  ∧  9-x²≠0 x²+3x-2x-6 ≥ 0 ∧ (3-x)(3+x)≠0 x(x+3)-2(x+3) ≥ 0 ∧ x≠3 ∧ x≠-3 (x+3)(x-2) ≥ 0  m.z. x=-3, x=2 x∈{(-∞,-3> ∪ <2,+∞} ∧ x≠-3 ∧ x≠3 Odp. D=(-∞,-3) ∪ <2, 3) ∪ (3,+∞).

Rozważamy ułamek: [latex]dfrac{sqrt{x^2+x-6}}{9-x^2}[/latex]. Ułamek to inny zapis dzielenia, a jak wiemy nie można dzielić przez zero, zatem mianownik nie może być zerem. Wobec tego: [latex]9-x^2 ot=0\ (3-x)(3+x) ot=0\ 3-x ot=0 wedge3+x ot=0\ x ot=3wedge x ot=(-3)\ xin mathbb{R}ackslashleft{-3;3 ight}[/latex] Jednak to nie wszystko, ponieważ w liczniku widzimy pierwiastek z (fachowo mówiąc pierwiastek arytmetyczny stopnia drugiego z wyrażenia) [latex]x^2+x-6[/latex]. Wyrażenie stojące pod pierwiastkiem stopnia parzystego, nie może być ujemne, czyli musi być większe lub równe zero. Uzasadnienie tego faktu: [latex] sqrt[2n]{a} =b Leftrightarrow b^{2n}=a[/latex] Liczba [latex]b[/latex] podniesiona do potęgi parzystej musi być nieujemna. Jest równa liczbie [latex]a[/latex], zatem sama liczba a musi być nieujemna. Należy rozwiązać nierówność: [latex]x^2+x-6geq 0\ a=1,b=1,c=-6\ Delta=b^2-4ac=1^2-4cdot 1cdot (-6)=1+24=25 extgreater 0\ sqrt{Delta}=sqrt{25}=5\ x_1=dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}=dfrac{-1-5}{2 cdot 1}=dfrac{-6}{2}=(-3)\ x_2=dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}=dfrac{-1+5}{2 cdot 1}=dfrac{4}{2}=2\ \ xin (-infty;-3] cup [2;infty)[/latex] Otrzymaliśmy dwa warunki, jakie musi łącznie spełniać [latex]x[/latex] aby być elementem dziedziny. [latex] left { {{xin mathbb{R}ackslashleft{-3;3 ight}} atop {xin (-infty;-3] cup [2;infty)}} ight. [/latex] Musimy wyznaczyć część wspólną tych dwóch zbiorów. Najprościej będzie z drugiego zbioru usunąć liczby [latex]-3[/latex] oraz [latex]3[/latex]. Wobec tego: [latex]D=(-infty;-3) cup [2;3) cup (3;infty)[/latex]