11.
Jeśli masz dane miejsca zerowe funkcji kwadratowej, to najprościej skorzystać z jej postaci iloczynowej, czyli:
[latex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/latex] gdzie [latex]x_1[/latex] i [latex]x_2[/latex] to miejsca zerowe. W tym przypadku (podstawiając też a) to będzie:
[latex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x-2)(x-(-3))=oxed{2(x-2)(x+3)}[/latex]
Jeśli potrzebujesz funkcji w postaci ogólnej to wystarczy wymnożyć nawiasy:
[latex]f(x)=2(x-2)(x+3)=2(x^2+3x-2x-6)=2(x^2+x-6)=\\=oxed{2x^2+2x-12}[/latex]
12.
Jeśli przedział jest domknięty, to funkcja kwadratowa osiąga wartości największe i najmniejsze albo na krańcach tego przedziału, albo w punkcie [latex]x_w[/latex] będącym współrzędną x wierzchołka, jeśli oczywiście należy on do badanego przedziału. Aby obliczyć [latex]x_w[/latex] korzystamy ze wzoru:
[latex]x_w=dfrac{-b}{2a}[/latex]
W naszym przypadku będzie to:
[latex]a=-2quad b=-3quad c=2\\ x_w=dfrac{-b}{2a}=dfrac{-(-3)}{2cdot(-2)}=oxed{-dfrac{3}{4}inlangle-1;2
angle}[/latex]
Widać więc że [latex]x_w[/latex] należy do rozpatrywanego zbioru.
Teraz wystarczy policzyć wartość funkcji dla tego punktu i dla krańców przedziału a następnie wybrać wartość najmniejszą i największą.
[latex]f(-1)=-2x^2-3x+2=-2(-1)^2-3(-1)+2=-2+3+2=oxed{3}\\ f(2)=-2x^2-3x+2=-2cdot2^2-3cdot2+2=-8-6+2=oxed{-12}\\ f(-frac{3}{4})=-2x^2-3x+2=-2(-frac{3}{4})^2-3(-frac{3}{4})+2=-2cdotfrac{9}{16}+frac{9}{4}+2=\\=-frac{18}{16}+frac{36}{16}+2=frac{18}{16}+2=oxed{3frac{1}{8}}[/latex]
Wybierając teraz wartość największą i najmniejszą możemy napisać
[latex]f_{min}=f(2)=-12\\f_{max}=f(-frac{3}{4})=3frac{1}{8}[/latex]
