[latex]\q= frac{4x^2}{3} :2x= frac{2x}{3} , x eq 0 wedge | frac{2x}{3} | extless 1 \ \|x| extless frac{3}{2} \ \S= frac{a_1}{1-q} \ \ frac{2x}{1- frac{2x}{3} } = frac{9}{4x} \ \2xcdot4x=9(1- frac{2x}{3} ) \ \8x^2=9-6x \ \8x^2+6x-9=0 \ \Delta=6^2+4cdot72=324 \ \ sqrt{Delta} =18 \ \x_1= frac{-6+18}{2cdot8} = frac{12}{16} = frac{3}{4} , x_2= frac{-6-18}{16} =- frac{3}{2} otin D \ \Odp. x= frac{3}{4} .[/latex]
Najpierw zagwarantujmy sobie aby prawa strona równania miała matematyczny sens, zatem: [latex]x in mathbb{R}ackslash{0}.[/latex] Teraz zagwarantujmy sobie aby lewa strona rzeczywiście była sumą szeregu geometrycznego. W tym celu musimy wyznaczyć takie x, aby iloraz ciągu geometrycznego należał do przedziału [latex] (-1;1) [/latex]: [latex]a_1=2x\ a_2=dfrac{4x^2}{3}\ q=dfrac{dfrac{4x^2}{3}}{2x}=dfrac{4x^2}{6x}=dfrac{2}{3}x\ \ -1 extless dfrac{2}{3}x extless 1vert cdot dfrac{3}{2}\ dfrac{-3}{2} extless x extless dfrac{3}{2}\ xin left(dfrac{-3}{2};0 ight) cup left(0;dfrac{3}{2} ight)[/latex] Suma szeregu geometrycznego wynosi: [latex]S=dfrac{a_1}{1-q}\ S=dfrac{2x}{1-dfrac{2x}{3}}=dfrac{2x}{dfrac{3}{3}-dfrac{2x}{3}}= dfrac{2x}{dfrac{3-2x}{3}}=dfrac{6x}{3-2x}[/latex] Wobec czego nasze zadanie możemy przeformułować następująco: Rozwiąż równanie postaci: [latex] dfrac{6x}{3-2x}= dfrac{9}{4x}[/latex] pamiętając, że [latex] xin left(dfrac{-3}{2};0 ight) cup left(0;dfrac{3}{2} ight).[/latex] Wobec powyższego: [latex]dfrac{6x}{3-2x}= dfrac{9}{4x}vert [4xcdot (3-2x)]\ 6xcdot 4x=9cdot (3-2x)\ 24x^2=27-18x\ 24x^2+18x-27=0vert :3\ 8x^2+6x-9=0\ Delta=36+4cdot 8cdot 9=324\ sqrt{Delta}=sqrt{324}=18\ x_1=dfrac{-6-18}{16}=dfrac{-24}{16}=dfrac{-3}{2} otin left(dfrac{-3}{2};0 ight) cup left(0;dfrac{3}{2} ight) \ x_2=dfrac{-6+18}{16}=dfrac{12}{16}=dfrac{3}{4} in left(dfrac{-3}{2};0 ight) cup left(0;dfrac{3}{2} ight)\ \ oxed{x=dfrac{3}{4}}}[/latex]
