Zbadajmy monotoniczność (charakter monotoniczności) ciągu [latex](a_n)_{n in mathbb{N_+}}[/latex] danego wzorem [latex]a_n=-2n^2+6n-2[/latex]. W tym celu zbadajmy znak różnicy [latex] a_{n+1}-a_n[/latex]: [latex]a_{n+1}-a_n=-2(n+1)^2+6(n+1)-2-(-2n^2+6n-2)=\ =-2(n^2+2n+1)+6n+6-2+2n^2-6n+2=\ =-2n^2-4n-2+6n+6-2+2n^2-6n+2=4-4nleq 0[/latex] Jak widzimy różnica jest niedodatnia, zatem rozważany ciąg jest nierosnący. Niedodatnia a nie ujemna, ponieważ dla [latex]n=1[/latex] różnica ta wynosi [latex]0[/latex], czyli [latex]a_1=a_2 extgreater a_3 extgreater ldots[/latex]. Ze względu na równość dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest to ciąg nierosnący nie zaś malejący.
[latex]a_{n} = -2n^{2}+6n-2\\a_{n+1} = -2(n+1)^{2}+6(n+1)-2 = -2(n^{2}+2n+1)+6n+6 - 2=\=-2n^{2}-4n-2+6n+4 = -2n^{2}+2n+2\\a_{n+1}-a_{n} = -2n^{2}+2n+2 - (-2n^{2}+6n-2)=\=-2n^{2}+2n+2+2n^{2}-6n+2 = -4n+4 leq 0\\dla n = 1, -4n+4 = -4cdot1+4 = 0\dla n = 2, -4cdot2+4 = -4 extless 0\\a_{n+1}-a_{n} leq 0[/latex] Ciąg (a_n) nazywamy ciągiem nierosnącym wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 prawdziwa jest nierówność [latex]a_{n+1} leq a_{n}.[/latex] Odp. Ten ciąg jest ciągiem nierosnącym.
