1. Wykaż,  że ciąg jest ciagiem malejącym, jeśli: an=7-(n-1)² 2. Wykaż, że ciag jest ciagiem rosnącym jeśli: an=n²-n-2 3. Wykaż, że ciag jest ciągiem malejącym jeśli: an=1+1/n   bardzo proszę o rozwiązanie.

1. Sprawdzamy czy ciąg jest malejący, czyli patrzymy, czy dany wyraz jest mniejszy od wyrazu go poprzedzającego. W tym celu od wyrazu następnego (ogólnie a_n+1) odejmiemy wyraz go poprzedzający (an). Spodziewamy się otrzymać wynik mniejszy od zera - odjemnik jest większy od odjemnej.   [latex]a_{n+1}-a_{n}=[7-(n+1-1)^{2}]-[7-(n-1)^{2}]=\=7-n^{2}-7+n^{2}-2n+1=-2n+1\-2n+1<0\2n>1\n>0,5[/latex] [latex]a_{n+1}0\n>0\forall xinmathbb{N^{+}} n>0[/latex] [latex]a_{n+1}>a_{n}[/latex] Dochodzimy do wniosku, że ciąg jest rosnący dla dodatnich liczb n, czyli dla każdego wyrazu ciągu. Wniosek: Ten ciąg jest rosnący.   3. Analogicznie do zad. 1. [latex]a_{n+1}-a_{n}=[1+frac{1}{n+1}]-[1+frac{1}{n}]=\=1+frac{1}{n+1}-1-frac{1}{n}=frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=frac{-1}{n(n+1)}<0[/latex] [latex]a_{n+1}