a) [latex]W(x)= x^4-125x = x cdot (x^3 - 125) = x cdot (x^3 - 5^3) = x cdot (x - 5)(x^2+5x + 25)[/latex] Wykorzystano wzór skróconego mnożenia - różnica sześcianów: [latex]a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)[/latex] b) [latex]V(x)= -x^3 +10x^2 -21x = - x cdot (x^2 - 10x + 21) = - x cdot (x - 3)(x - 7)[/latex] Zapis trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej [latex]x^2 - 10x + 21[/latex] [latex]Delta = (-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 21 = 100 - 84 = 16[/latex] [latex]sqrt{Delta} = sqrt{16} = 4[/latex] [latex]x_1 = frac{10 - 4}{2 cdot 1} = frac{6}{2} = 3[/latex] [latex]x_2 = frac{10 + 4}{2 cdot 1} = frac{14}{2} = 7[/latex] [latex]x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)[/latex] c) [latex]Q(x)= x^3 -6x^2 -x +6 = x^2 cdot (x - 6) - 1 cdot (x - 6) = (x - 6)(x^2 - 1) = [/latex] [latex]= (x - 6)(x^2 - 1^2) = (x - 6)(x + 1)(x - 1)[/latex] Wykorzystano wzór skróconego mnożenia - różnica kwadratów: [latex]a^2-b^2 = (a+b)(a-b)[/latex] [latex](x^2 - 1) = (x^2 - 1^2) = (x + 1)(x - 1)[/latex] d) [latex]R(x)= x^3 -7x +6[/latex] Sprawdzamy dla jakich dzielników liczby 6 wielomin będzie równy zero, wtedy bedzie podzielnyn przez dwumian x - a R(1) = 1³ - 7·1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 (x³ - 7x + 6) : (x - 1) = x² + x - 6 -x³ + x² --------- x² - 7x + 6 -x² + x ------------- - 6x + 6 6x - 6 ---------- = = x³ - 7x + 6 = (x² + x - 6)(x - 1) Zatem otrzymujemy: [latex]x^3 - 7x + 6 = (x^2+ x - 6)(x - 1) = (x+3)(x - 2)(x - 1)[/latex] Zapis trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej [latex]x^2 + x - 6[/latex] [latex]Delta = 1^2 - 4 cdot 1 cdot (-6) = 1 + 24 = 25[/latex] [latex]sqrt{Delta} = sqrt{25} = 5[/latex] [latex]x_1 = frac{- 1 - 5}{2 cdot 1} = frac{-6}{2} = - 3[/latex] [latex]x_2 = frac{- 1 + 5}{2 cdot 1} = frac{4}{2} = 2[/latex] [latex]x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)[/latex]
