wykaż,że jeżeli x+y=1, to [latex]x^{2} + y^{2} geq frac{1}{2}[/latex]     Kiedy w tej nierówności zachodzi równość?

x + y = 1  ,  to  y = 1 - x zatem x^2 + y^2 = x^2 + ( 1 - x)^2  = x^2 + 1 - 2x + x^2 =  2 x^2 -2 x + 1 Mamy  funkcję f(x) = 2 x^2 -2 x + 1 a = 2 > 0 p = 2/4 = 1/2 q = f( 1/2) = 2*(1/4) - 2*(1/2) + 1 = 1/2 - 1 + 1 = 1/2 ZW = < q ; + oo ) = <  1/2 ; + oo) czyli x^2 + y^2 > = 1/2 =================== Równość zachodzi, gdu x = y = 1/2   bo f(x ) = 2 x^2 -2 x + 1 = 1/2 2 x^2 - 2x + 1/2 = 0 delta = (-2)^2 - 4*2*(1/2) = 4 - 4 = 0 x = 2/4 = 1/2 y = 1 -1/2 = 1/2 ==================