Rozwiązania w załącznikach.
Zad. 1 [latex]sqrt{7 + 4sqrt{3}} + sqrt{7 - 4sqrt{3}} = sqrt{4 + 4sqrt{3} + 3} + sqrt{4 - 4sqrt{3} + 3} =[/latex] [latex]= sqrt{(2+sqrt{3})^2} + sqrt{(2 - sqrt{3})^2} =|2+sqrt{3}| + |2 - sqrt{3}| = 2+sqrt{3} + 2 - sqrt{3} =4[/latex] [latex](18 ^{-4} : 3^{-8})(2sqrt{2})^4=frac{18 ^{-4}}{3^{-8}} cdot (2 cdot 2^{frac{1}{2}})^4=frac{(2 cdot 9)^{-4}}{(3^2)^{-4}} cdot (2^{1+frac{1}{2}})^4=[/latex] [latex]=frac{2^{-4} cdot 9^{-4}}{9^{-4}} cdot (2^{frac{3}{2}})^4= 2^{-4} cdot 2^6 = 2^2 = 4[/latex] Stąd: [latex]sqrt{7 + 4sqrt{3}} + sqrt{7 - 4sqrt{3}} = (18 ^{-4} : 3^{-8})(2sqrt{2})^4[/latex] Zad. 2 Trapez prostokątny ABCD opisany na okręgu o promieniu r = 2 cm (patrz załącznik) dłuższa podstawa trapezu: |AB| = 2a krótsza podstawa trapezu:|CD| = a prostopadłe ramię (wysokość) trapezu: |AC| = h ramię trapezu: |BC| = c promień okręgu wpisanego w trapez: r = 2 cm O - obwód trapezu h = 2r = 2·2 = 4 cm Trapez ABCD jest opisany na okręgu, czyli sumy przeciwległych boków są równe: |AB| + |CD| = |AD| + |BC| 2a + a = h + c 3a = 4 + c c = 3a - 4 |AE| = |CD| = a |CE| = |AD| = h |BE| = |AB| - |AE| = 2a - a = a Z tw. Pitagorasa: |BC|² = |BE|² + |CE|² c² = a² + h² (3a - 4)² = a² + 4² 9a² - 24a + 16 = a² + 16 9a² - 24a + 16 - a² - 16 = 0 8a² - 24a = 0 8a·(a - 3) = 0 8a = 0 ∨ a - 3 = 0 a = 0 ∨ a = 3 Stąd: a = 3 cm c = 3a - 4 c = 3·3 - 4 = 9 - 4 = 5 cm O = |AB| + |BC| + |CD| + |AD| O = 2a + c + a + h O = 3a + c + h O = 3·3 + 5 + 4 = 9 + 5 + 4 = 18 cm Odp. Obwód trapezu wynosi 18 cm. Zad. 3 Trójkąt równoboczny ABC - przekrój osiowy stożka wpisanego w kulę (patrz załącznik) a - długość boku przekroju osiowego stożka (trójkata ABC) h - wysokość stożka (trójkata ABC) r - pormień podstawy stożka R - promień kuli Vs - objętość stożka Vk - objętość kuli [latex]a = 2r[/latex] [latex]h = frac{a sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]h = frac{2r cdot sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]h = r cdot sqrt{3}[/latex] [latex]Vs = frac{1}{3} pi r^2 cdot h[/latex] [latex]Vs = frac{1}{3} pi r^2 cdot r cdot sqrt{3}[/latex] [latex] Vs = frac{pi cdot r^3 cdot sqrt{3}}{3}[/latex] [latex]R= frac{2}{3} cdot h[/latex] [latex]R= frac{2}{3} cdot r cdot sqrt{3}[/latex] [latex]R= frac{2cdot r cdot sqrt{3}}{3}[/latex] [latex]Vk = frac{4}{3} cdot pi cdot R^3[/latex] [latex]Vk = frac{4}{3} cdot pi cdot (frac{2cdot r cdot sqrt{3}}{3})^3[/latex] [latex]Vk = frac{4}{3} cdot pi cdot frac{8 cdot r^3 cdot 3sqrt{3}}{27}[/latex] [latex]Vk = frac{32 cdot pi cdot r^3 cdot sqrt{3}}{27}[/latex] [latex]frac{Vk}{Vs} =frac{32 cdot pi cdot r^3 cdot sqrt{3}}{27} : frac{pi cdot r^3 cdot sqrt{3}}{3} =frac{32 cdot pi cdot r^3 cdot sqrt{3}}{27} cdot frac{3}{pi cdot r^3 cdot sqrt{3}} =[/latex] [latex]=frac{32}{9}[/latex] Odp. Stosunek objętości kuli do objętości stożka ³²/₉. Zad. 4 Oznaczania tak jak na rysunku - patrz załącznik Trójkąt ABC (podstawa ostrosłupa) trójkąt równoboczny, czyli: |AB| = |BC| = |AC| = 8 |CD| = 6 Przekrój, którego pole należy obliczyć jest trójkątem równoramiennym. Jego podstawa FG, czyli odcinek łączący środki krawędzi AC i BC na podstawie tw. o linii środkowej w trójkącie (Linia środkowa jest równoległa do odpowiadającego jej boku, a jej długość jest dwukrotnie mniejsza od długości tego boku) ma długość: |FG| = ½·|AB| = ½·8 = 4. ΔFGH ~ ΔABD (trójkąt FGH jest podobny do trójkąta ABD) w skala podobieństwa k, która wynosi: k = |FG| : |AB| = 4 : 8 = ½ Na podstawie własności podobieństwa (stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa) otrzymujemy: [latex]frac{P_{FGH}}{P_{ABD}} = k^2[/latex] [latex]P_{FGH} = k^2 cdot P_{ABD}[/latex] [latex]P_{FGH} = (frac{1}{2})^2 cdot P_{ABD}[/latex] [latex]P_{FGH} = frac{1}{4} cdot P_{ABD}[/latex] Obliczamy pole trójkąta ABD: z tw. Pitagorasa dla ΔBCD: |AD|² = |BC|² + |CD|² |AD|² = 8² + 6² |AD|² = 64 + 36 |AD|² = 100 |AD| = 10 |AD| = |BD| = 10 z tw. Pitagorasa dla ΔAED: |AD|² = |AE|² + |ED|² |ED|² = |AD|² - |AE|² |ED|² = 10² - 4² |ED|² = 100 - 16 |ED|² = 84 |ED| = √84 |ED| = √4·21 |ED| = 2√21 [latex]P_{ABD} = frac{1}{2} cdot |AB| cdot |ED|[/latex] [latex]P_{ABD} = frac{1}{2} cdot 8 cdot 2sqrt{21}[/latex] [latex]P_{ABD} =8sqrt{21}[/latex] Stąd: [latex]P_{FGH} = frac{1}{4} cdot 8sqrt{21}[/latex] [latex]P_{FGH} = 2sqrt{21}[/latex] Odp. Pole przekroju wynosi 2√21.
Zadania w załączniku. Proszę o rzetelne odpowiedzi wraz z dokładnymi rysunkami. Odpowiedz proszę wysłać w załączniku....
