[latex]V_{o}=30 [ frac{m}{s} ] \ alpha = 30^{0} \ h_{b}=2,5 [m] \ r_{b} = 50 [m] \ [/latex] [latex]left { {{x(t)=V_{o} cos alpha t} atop {y(t) = V_{0} sin alpha t - frac{gt^{2}}{2}}}
ight \ y(t)=0 o t_{c} = frac{2 V_{o} sin alpha }{g} \ [/latex] [latex]Z=x(t_{c})=frac{V_{o}^{2} sin 2 alpha }{g} approx frac{900 frac{m^{2}}{s^{2}} cdot frac{ sqrt{3}}{2} }{10 frac{m}{s}} = 45 sqrt{3} [m] approx 78 [m][/latex] [latex]y(t) = V_{0} sin alpha t - frac{gt^{2}}{2}} \ funkcja osiaga ekstremum w wierzcholku \ p= frac{-V_{o} sin alpha}{2 cdot ( - frac{g}{2})} = frac{V_{o} sin alpha }{g} \ [/latex] [latex]H_{max} = q=y(p) = V_{0} sin alpha cdot frac{V_{o} sin alpha }{g} - frac{g( frac{V_{o} sin alpha }{g} )^{2}}{2}} = [/latex] [latex]= frac{V_{o}^{2} sin ^{2} alpha }{g} - frac{V_{o}^{2} sin ^{2} alpha }{2g} = frac{V_{o}^{2} sin ^{2} alpha }{2g} approx [/latex] [latex]approx frac{900 frac{m}{s^{2}} cdot frac{1}{4}}{10 frac{m}{s^{2}}} = 22,5 [m][/latex] teraz czy trafi w bramkę: proponuję napisać funkcję [latex]y(x)[/latex] [latex]left { {{x(t)=V_{o} cos alpha t} o t= frac{x(t)}{V_{o} cos alpha } atop {y(t) = V_{0} sin alpha t - frac{gt^{2}}{2}}}
ight \ [/latex] [latex]y(x) = V_{o} sin alpha frac{x}{V_{o} cos alpha } - frac{g frac{x^{2}}{V_{o}^{2} cos ^{2} alpha}}{2} = tg alpha x - frac{gx^{2}}{2V_{o}^{2} cos ^{2} alpha } \ [/latex] [latex]y(r_{b}) = tg alpha r_{b} - frac{gr_{b}^{2}}{2V_{o}^{2} cos ^{2} alpha} = [/latex] [latex]approx frac{ sqrt{3}}{3} cdot 50 m - frac{10 frac{m}{s^{2}} cdot 2500 m^{2}}{2 cdot 900 frac{m^{2}}{s^{2}} cdot frac{3}{4}} approx 27 [m][/latex] piłka przeleci nad bramką. EXTRA: Jest to oczywiście [latex]45^{0}[/latex] , ale jeszcze udowodnijmy dlaczego. napiszmy funkcję [latex]Z(t)[/latex] [latex]Z=x(t_{c})=frac{V_{o}^{2} sin 2 alpha }{g}[/latex] Współczynniki: [latex]V_{o} ; g[/latex] możemy uzxnać za stałe. A więc całe wyrażenie będzie miało jak największą wartość wtedy, gdy [latex] sin 2 alpha [/latex] będzie miał możliwie największą wartość. Analizując wykres funkcji [latex]f(n)= sin (n)[/latex] wiemy, że maksymalna wartość funkcji to 1. [latex]sin 2 alpha =1 \ 2 alpha = frac{ pi }{2} \ alpha = frac{ pi }{4} \ alpha = 45 ^{0}[/latex] aha.. należałoby zrobić rysunek. narysuj sobie leżące ciałko, wektor prędkości, odpowiedni kąt, rozkład sił na składowe, i wpisz na rysunku ukłąd współrzędnych tak, żeby to ciało znajdowało się w początku układu współrzędnych.
