y = ax + b Podstawiam współrzędne punktów A i B 4 = -a + b 2 = b 4 = -a + 2 2 = b a = -2 b = 2 k: y = -2x + 2 y + 2x - 2 = 0 a) [latex]|Ck|=frac{|Ax+By+C|}{sqrt{A^{2}+B^{2}}}=frac{|2*(-2)+1*(-4)-2}{sqrt{4+1}}=frac{|-4-4-2|}{sqrt{5}}=frac{|-10|}{sqrt{5}}=frac{10}{sqrt{5}}*frac{sqrt{5}}{sqrt{5}}=[/latex][latex]frac{10sqrt{5}}{5}=2sqrt{5}[/latex] b) Powstanie nam trójkąt równoramienny o wysokości 2√5 i o ramionach długości 5. Musimy obliczyć współrzędne punktu, na który pada wysokość. Punkt F = (x, y) |CF| = 2√5 √[(x + 2)² + (y + 4)²] = 2√5 // ² (x + 2)² + (y + 4)² = 20 y = -2x + 2 (x + 2)² + (-2x + 2 + 4)² = 20 (x + 2)² + (6 - 2x)² = 20 x² + 4x + 4 + 36 - 24x + 4x² = 20 5x² - 20x + 20 = 0 x² - 4x + 4 = 0 (x - 2)² = 0 x = 2 y = -2*2 + 2 = -4 + 2 = -2 F = (2 ; -2). F to środek odcinka |DE| D = (a, b) E = (c, d) |EC|² = (c + 2)² + (d + 4)² |ED|² = (a + 2)² + (b + 4)² x = (a + c)/2 y = (b + d)/2 2 = (a + c)/2 -2 = (b + d)/2 4 = a + c -4 = b + d a = 4 - c b = -4 - d 25 = (c + 2)² + (d + 4)² 25 = (4 - c + 2)² + (-4 - d + 4)² 25 = c² + 4c + 4 + d² + 8d + 16 25 = 36 - 12c + c² + d² Po odjęciu stronami: 0 = 4c + 12c + 4 - 36 + 16 + 8d 16c - 16 + 8d = 0 2c - 2 + d = 0 d = 2 - 2c 25 = 36 - 12c + c² + (2 - 2c)² 25 = 36 - 12c + c² + 4c² - 8c + 4 5c² - 20c + 15 = 0 c² - 4c + 3 = 0 c² - c - 3c + 3 = 0 c(c - 1) - 3(c - 1) = 0 (c - 3)(c - 1) = 0 c = 3 ∨ c = 1 d = -4 ∨ d = 0 Szukany punkty D, E to: D = (3 ; -4) E = (1 ; 0)
Prosta AB: b=2 -a+2=4 -a=4-2 a=-2 y=-2x+2 2x+y-2=0 a) [latex]\d=frac{|2*(-2)+1*(-4)-2|}{sqrt{2^2+1^2}}=frac{10}{sqrt5}=2sqrt5 \ \b) \D=(x,2-2x) \ \|CD|^2=(x+2)^2+(2-2x+4)^2=5^2 \ \x^2+4x+4+36-24x+4x^2-25=0 \ \5x^2-20x+15=0/:5 \ \x^2-4x+3=0 \ \x^2-3x-x+3=0 \ \x(x-3)-(x-3)=0 \ \(x-3)(x-1)=0[/latex] x=3, y=2-6=-4 lub x=1, y=2-2=0 Odp. D=(3,-4), E=(1,0)
