Mierzenie efektywności i jej przypisywanie

Ogólnym celem pomiaru efektywności jest dokonanie oceny i porównanie wyników różnych strategii inwestycyjnych pasywnych oraz aktywnych jak i wybór odpowiedniej ilości aktywów wolnych od ryzyka.
Pasywna strategia inwestycyjna w ujęciu klasycznym polega na inwestowaniu w portfel dokładnie odpowiadający indeksowi rynkowemu. Inwestor nie uwzględnia pojawiających się informacji oraz nie dokonuje sprzedaży i zakupów z wyjątkiem sytuacji, gdy zmianie ulegnie skład indeksu. Taki inwestor otrzymuje wynagrodzenie za ponoszenie ryzyka rynkowego i osiągnie zysk wyznaczony przez rynkową stopę zwrotu pomniejszony o koszty handlowe.
Portfel strategii aktywnej różni się od konstrukcji indeksu rynkowego pod względem udziału akcji tworzących indeks. Inwestor uwzględnia otrzymane informacje i jest gotów ponieść wysokie koszty handlowe. W praktyce niewielka liczba inwestorów osiąga w długim okresie stopy procentowe wyższe niż z inwestycji pasywnej, ponieważ ponoszą oni ryzyko specyficzne oraz znacznie wyższe koszty handlowe. W przypadku tej strategii kluczowe znaczenie ma pomiar efektywności.

Tradycyjny pomiar efektywności

Tradycyjne mierniki efektywności pozwalają na uszeregowanie strategii inwestycyjnych na podstawie historycznych wartości stopy zwrotu i ryzyka. Mierniki te są przestarzałe ponieważ wykorzystują tylko wzorzec jednostkowy i charakteryzują się brakiem statystycznej precyzji i elastyczności.

Mierniki te, będące pokłosiem modelu CAPM, definiuje się następująco:
Miernik Sharpe?a [rp-rf] / ? (rp) nadwyżkowa stopa zwrotu dzielona jest przez ryzyko portfela
Miernik Treynora [rp-rf] /?p = stała ?p / ?p iloraz nadwyżkowej stopy zwrotu i ryzyka systematycznego
Miernik Jansena ?p = rp ? {rf ?p [rm - rf]} różnica między osiągniętą stopą zwrotu z portfela a stopą wynikającą z modelu CAPM na podstawie rynkowej stopy zwrotu
Wskaźnik wyceny ?p / ?(ep) iloraz ?p i ryzyka niesystematycznego portfela

Gdzie:
rp ? średnia stopa zwrotu z portfela
? (rp) ? odchylenie standardowe
?p i ?p ? parametry portfela z modelu CAPM opisujące jego relacje z rynkiem
?(ep) ? ryzyko specyficzne stóp zwrotu z portfela
rf ? stopa zwrotu z aktywa wolnego od ryzyka
stała - nadwyżkowa stopa zwrotu z portfela rynkowego
Wartości tych mierników wyznacza się na podstawie danych z przeszłości z założeniem, że będą one niosły ze sobą pewne informacje na temat przyszłości.
Średnia stopa zwrotu, współczynniki alfa, beta itd. Mogą być obliczone na podstawie miesięcznych nadwyżkowych stóp zwrotu z poszczególnych akcji oraz z indeksu rynkowego (zamiast stóp zwrotu z akcji można zastosować stopy zwrotu z portfela). Dodatnia wartość współczynnika alfa wskazuje, że osiągnięto wyższą stopę zwrotu niż wynikałoby to z modelu CAPM.
Miara ryzyka znajdująca się w mianowniku w znacznym stopniu wyznacza zastosowanie każdego z mierników. Miernik Sharpe?a powinno się stosować jedynie do oceny efektywności całego portfela, ponieważ pomija on korelację z ryzykiem. Mierniki Treynora i Jansena powinny być stosowane tylko do oceny efektywności inwestycji stanowiących jedynie małą część całego portfela. Natomiast wskaźnik wyceny powinno się stosować tylko w trakcie wyboru między alternatywnymi inwestycjami aktywnymi, które zostaną dodane do pierwotnego portfela pasywnego.
Te jednoindeksowe mierniki należy stosować z rozwagą ponieważ ich jakość jest niższa od wieloindeksowych mierników efektywności.


Zarządzanie aktywne ? pasywne

Treynor i Black opracowali model przeznaczony dla menedżerów zakładających, że rynki finansowe nie są w pełni efektywne. Pokazali optymalny sposób łączenia aktywnego portfela z pasywnym w celu uzyskania optymalnego portfela obciążonego ryzykiem, a następnie wskazali jak uzyskany portfel połączyć z aktywem wolnym od ryzyka. Podejście Treynora ? Blacka opiera się na wskaźniku wyceny będącym miarą efektywności i stanowi podstawę zarządzania inwestycjami.
Pierwszym zadaniem jest utworzenie optymalnego portfela aktywnego przy uwzględnieniu wartości oczekiwanych zysków oraz oszacowaniu współczynników beta i ryzyka specyficznego dla każdej akcji. Treynor i Black utrzymują, że należy dążyć do maksymalizacji współczynnika wyceny dla portfela aktywnego. Dowodzą, że jest to równoznaczne z inwestowaniem w akcje w taki sposób, że ich udział w portfelu odpowiada proporcjom zysku oczekiwanego z każdej akcji podzielonego przez jego wariancję.
Drugie zadanie polega na połączeniu optymalnego portfela aktywnego z pasywnym portfelem rynkowym. Obliczamy udział portfela aktywnego dla którego danymi są: stopa zwrotu i ryzyko obu portfeli, współczynnik korelacji między nimi, stopa wolna od ryzyka i współczynnik braku skłonności do ryzyka.
Ostatnim zadaniem jest dokonanie podziału inwestycji całkowitej między optymalnym portfelem ryzykownym a aktywem wolnym od ryzyka. Obliczamy udział portfela ryzykownego dla którego danymi są: stopa zwrotu i ryzyko optymalnego portfela ryzykownego, stopa wolna od ryzyka oraz współczynnik braku skłonności do ryzyka.
Następnie przedstawimy na wykresie ryzyka i stopy zwrotu portfele aktywny i pasywny. W wyniku ich połączenia otrzymujemy portfele leżące na granicy efektywności między nimi. Optymalny portfel ryzykowny leży w punkcie, w którym linia prosta wyznaczająca aktywo wolne od ryzyka styka się z granicą efektywności.

Wprowadzenie do analizy stylu

Analiza stylu jest ja Sharpe?a dna z najnowszych metod, w których do pomiaru efektywności funduszu inwestycyjnego wykorzystuje się stopy zwrotu. Swój początek wzięła od opracowanego przez Sharpe?a w 1992 ?modelu współczynnika klasy aktywa?, mającego na celu rozróżnienie efektywności poszczególnych inwestycji pod względem ?stylu? i ?wyboru?. Analizę stylu można również traktować jako wsteczną inżynierię łączenia aktywów w jednym portfelu.
Fundusze inwestycyjne tworzą portfele złożone z inwestycji w wielu sektorach rynku narodowego (akcje, obligacje, bony skarbowe), a nierzadko również w sektorach międzynarodowych (waluty, akcje i towary zagraniczne). Ponadto fundusze mogą inwestować środki o różnej wartości w konkretne aktywa pochodzące z każdego z tych sektorów. Zazwyczaj informacje o aktywach funduszu nie są udostępniane inwestorom zewnętrznym. Efektywność poszczególnych sektorów jest zróżnicowana dlatego trudno odróżnić zyski wynikające z wyboru między sektorami od zysków wynikających z wyboru aktywów w poszczególnych sektorach. Natomiast dostępne są dane na temat stóp zwrotu osiągniętych przez te fundusze, które można wykorzystać do przeprowadzenia analizy stylu.
Celem analizy stylu jest utworzenie portfela wzorcowego na podstawie zestawu znanych indeksów, do którego porównywana będzie efektywność portfela aktywnie zarządzanego przez fundusz inwestycyjny. W idealnym przypadku indeksy powinny odzwierciedlać efektywność poszczególnych klas aktywów, powinny być wyczerpujące i nie mieć części wspólnych, a informacje na temat aktywów wchodzących w ich skład powinny być dostępne publicznie.
Równanie stanowiące podstawę analizy stylu dla i ?tego funduszu, wykorzystujące n indeksów pasywnych, w którym stopy zwrotu z tych indeksów są równe f1,f2,?, fn, ma postać:

ri = [bi1f1 bi2f2 ? binfn] ei
gdzie :
ri - stopa zwrotu z i-tego funduszu
bij ? udział i-tego funduszu w j-tym indeksie
ei ? nieczynnikowy komponent stopy zwrotu

Przekształcając powyższy wieloindeksowy model stóp zwrotu do postaci różnicy między stopą zwrotu z funduszu a stopą zwrotu z indeksu, otrzymamy:

ei = ri ? [bi1f1 bi2f2 ? binfn]

gdzie część znajdującą się w nawiasie można potraktować jako stopę zwrotu z portfela zawierającego aktywa o różnych udziałach.

Sharpe sugeruje, aby udziały bij wybierać w taki sposób , by zminimalizować tzw. ?błąd utrzymania śladu?(wariancję) ei. udziały te wyznaczają portfel, więc ich suma musi wynosić 100%, a udziały zwykle należą do przedziału 0% - 100%. Udziały wyznaczone w efekcie optymalizacji to udziały stylu, które w połączeniu z indeksami tworzą portfel wzorcowy.
Wyboru udziałów minimalizujących błąd utrzymywania śladu w określonym czasie można dokonać korzystając z programowania kwadratowego. W arkuszu kalkulacyjnym szybkie i łatwe dokonanie analizy umożliwia dodatek Solver.
Przydatnym sposobem obliczania efektywności analizy stylu jest wyznaczenie proporcji wariancji stopy zwrotu z funduszu ?objaśnionej? przez wybrany model stylu. Miara ta dla i-tego funduszu jest definiowana następująco:

1- [Var(ei)/ Var(ri)

Sharpe skorzystał z opracowanej przez siebie metody porównywania stylów różnych funduszy przy użyciu tego samego zestawu indeksów, na których podstawie szacował różne portfele wzorcowe.


Prosta analiza stylu

Zadanie polega na wyznaczeniu udziałów, dla których wariancja błędu ma wartość minimalną, do czego posłuży nam Solver. Musimy także upewnić się czy suma udziałów wynosi 1 (100%).
Na wstępie musimy uzupełnić formuły na styl i błąd utrzymywania śladu mnożąc tablice udziałów ze stopami zwrotu z indeksów.
Pierwszy obliczony błąd jest różnicą między stopą zwrotu z funduszu a stopą zwrotu ze stylu. Następnie obliczamy wariancję błędu. Wartość ta często jest bardzo mała dlatego można dodać skalowana wartość wariancji błędu (pomnożoną przez 10000) dzięki czemu zwiększy się precyzję optymalizacji.
Po dodaniu warunków ograniczających udziały możemy zastosować Solvera do przeprowadzenia minimalizacji skalowanej wariancji błędu. Optymalizację tę można przeprowadzić za pomocą polecenia Solver lub za pośrednictwem procedury zawierającej bezpośrednie wywołania poszczególnych funkcji komponentowych Solvera . zostanie pokrótce przedstawione makro znajdujące się w moduleM. Makro to generuje także wykres prezentujące wynikowe udziały stylu, przy których wariancja błędu jest minimalna.
Podsumowując udziału stylu tworzą portfel wzorcowy pokrywający stopy zwrotu osiągnięte w danym kresie , do którego porównuje się efektywność inwestycji zarządzanych przez menedżerów inwestycyjnych.

Analiza stylu dla kolejnych okresów

Rozszerzeniem prostej analizy jest przeprowadzenie szeregu analiz stylów dla kolejnych okresów w celu sprawdzenie jak spójny w czasie jest dany styl. Tego typu analiza stylów dla kolejnych okresów jest znana również jako analiza ryzyka.
Najważniejsza zmiana w porównaniu z poprzednim zadaniem polega na zapewnieniu, że błąd wariancji jest wyznaczany dla określonego zbioru błędów odpowiadającemu konkretnej analizie stylu. Do tego celu zastosowano funkcję INDEKS wybierającą w funkcji wariancji odwołania do komórek początkowej i końcowej.
Powtarzalne wykonywanie analizy stylu najlepiej jest zautomatyzować za pomocą makra. Gdzie wskazywana jest odpowiednia komórka celu , następnie komórki zmieniane i warunki ograniczające. W trakcie każdego kolejnego uruchomienia Solvera wybierany jest zakres dla wariancji błędu, a obliczone w ten sposób udziału są kopiowane do zakresu wyjściowego. Szereg czasowy udziałów z analizy stylów można następnie przedstawić na wykresie.
Udziały ryzyka możemy wykorzystać charakterze wzorca pasywnego, do którego przyrównana zostaje efektywność funduszu w bieżącym miesiącu. Na koniec bieżącego miesiąca możemy porównać stopę zwrotu z funduszu ze stopą zwrotu wynikającą ze wzorca, a otrzymana różnica efektywności będzie tzw. stopą zwrotu z wyboru dokonanego w tym miesiącu. Stopa zwrotu z wyboru mierzy zarówno wpływ akcji wybranych w ramach poszczególnych sektorów stylów, jak też wpływ zmian w udziałach inwestycji ulokowanych w poszczególnych sektorach, dokonanych w ciągu miesiąca przez fundusz. Fundusz może więc odrzucić pozytywny wpływ z zainwestowania większej, niżby to wynikało ze stylu, części środków w akcje, które osiągnęły szczególnie wysoką stopę zwrotu oraz wpływ negatywny spowodowany zwiększeniem swego zaangażowania w sektory, których efektowność okazała się niska. Realizując tę procedurę dla danej liczby miesięcy, otrzymamy skumulowana stopę zwrotu z wyboru osiągniętą przez fundusz. Sharpe przedstawił sposób testowania istotności średniej stopy zwrotu z wyboru przy użyciu testu t.

Przedziały ufności dla udziałów stylu

W celu sprawdzenia czy oszacowane udziały różnią się znacząco od zera w ramach klasycznych procedur wyznaczających przeprowadzanie szacunków statystycznych musimy obliczyć błędy standardowe, odpowiadające oszacowanym udziałom stylu.
W idealnym przypadku indeksy zastosowane w analizie byłyby niezależne od siebie, a więc ich stopy zwrotu byłyby nieskorelowane ze stopą zwrotu z żadnego indeksu. W praktyce indeksy opisujące zakres możliwych klas aktywów okażą się silnie skorelowane z innymi indeksami. Należy wyeliminować z analizy stylów te indeksy, które SA zbyt podobne do innych by pozostały podzbiór indeksów był jak najbardziej zróżnicowany.
Podobieństwo indeksów możemy sprawdzić tworząc macierz korelacji dla stóp zwrotu ?osiągniętych? przez różne dostępne indeksy. Te, które łatwo można odtworzyć za pomocą innych indeksów będą mocna skorelowane.
Analiza stylu jest rozwinięciem regresji liniowej z warunkami ograniczającymi, a więc powinna istnieć możliwość wyznaczenie przedziałów ufności dla udziałów. Można tego dokonać szacując styl każdego z wybranych indeksów w kategoriach innych indeksów. Styl szacuje się bez nakładania warunków ograniczających na poszczególne udziały (muszą się one sumować do 100%), przez co część zmienności każdego indeksu pozostaje niewyjaśniona. Wynik porównuje się z aktywnym odchyleniem standardowym stylu funduszu w celu wyznaczenia błędów standardowych oszacowanych udziałów stylu.
Należy stworzyć arkusz automatycznie dzielący macierz stóp zwrotu z indeksów na dwie części zawierający stopy zwrotu z wybranego indeksu j* oraz z pozostałych indeksów. Wybrany indeks jest wyodrębniany na podstawie wartości j* oraz wyniku funkcji INDEKS. W celu wyodrębnienia pozostałej części indeksów używa się funkcji zdefiniowanej przez użytkownika StyleSubMatrix.
Stosujemy w arkuszu Solvera tyle, że bez warunków ograniczających.

Otrzymane w wyniku aktywne odchylenia standardowe (AOS) poszczególnych indeksów służą do oszacowania błędów standardowych udziałów stylu. Indeks o wysokim AOS trudno jest odtworzyć na podstawie innych indeksów, więc powinien mieć niższą wartość błędu standardowego. Sprawdzamy to dzieląc oszacowany udział przez AOS odpowiedniego indeksu.
Korzystając ze statystyk możemy udoskonalić analizę usuwając z niej indeksy, dla których wartość statystyki t nieznacznie różni się od zera.

Analiza stylu odgrywa bardzo ważną rolę. Od momentu opracowania podstaw teorii CAPM wzrastała liczba badań mających na celu identyfikację anomalii występujących na rynkach posługujących się wyceną aktywów. Zróżnicowanie efektywności próbowano wyjaśniać za pomocą różnorodnych strategii aktywnych. Duże nadzieje w zakresie identyfikacji wiąże się z rozwojem wzorców pasywnych naśladujących strategie aktywne. Najważniejszą z nich jest obecnie analiza stylu generująca wieloindeksowy wzorce pasywne, do których przyrównuje się efektywność rzeczywiście realizowanych strategii aktywnych.