Okrąg
Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.
Słowo „okrąg” jest często mylone ze słowem „okręg” oznaczającym obszar administracyjny.
Definicja
Niech S = (x0,y0) będzie ustalonym punktem, zaś r odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość
{(x,y):(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2}.
Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego
Pojęcia [edytuj]
Punkt S nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy odcinków o początku S i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość | r | nazywana jest tym terminem.
Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.
Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu. Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu, podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d, zachodzi równość d = 2r.
Wzory [edytuj]
Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem (kołem) jest π wynoszące w przybliżeniu . Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, więcej o niej w artykule o liczbie pi.
Długość okręgu wyraża się wzorem:
O = 2πr
Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:
S = πr2
Wzajemne położenie dwóch okręgów
Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O1 i O2 oraz promieniach odpowiednio r1 i r2. Przez d(O1,O2) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.
Płaszczyzna
Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:
identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: ,
współśrodkowe – mają ten sam środek: O1 = O2,
styczne wewnętrznie - mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = | r1 − r2 | ,
styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = r1 + r2,
rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O1,O2) < | r1 − r2 | , albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O1,O2) > r1 + r2,
przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r1 − r2 | < d(O1,O2) < r1 + r2.
Przestrzeń
Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:
współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.
Przestrzeń metryczna
Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. W dowolnej przestrzeni metrycznej mamy więc:
.
Metryka euklidesowa generuje okrąg, istnieją jednak metryki, które na płaszczyźnie euklidesowej generują zbiory takie jak kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o ). Na prostej okręgiem są punkty równo oddalone od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.