Okrąg

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.

Słowo „okrąg” jest często mylone ze słowem „okręg” oznaczającym obszar administracyjny.

Definicja
Niech S = (x0,y0) będzie ustalonym punktem, zaś r odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

{(x,y):(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2}.
Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego
Pojęcia [edytuj]
Punkt S nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy odcinków o początku S i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość | r | nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu. Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu, podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d, zachodzi równość d = 2r.


Wzory [edytuj]
Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem (kołem) jest π wynoszące w przybliżeniu . Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, więcej o niej w artykule o liczbie pi.

Długość okręgu wyraża się wzorem:

O = 2πr
Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:

S = πr2

Wzajemne położenie dwóch okręgów
Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach O1 i O2 oraz promieniach odpowiednio r1 i r2. Przez d(O1,O2) rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.


Płaszczyzna
Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: ,
współśrodkowe – mają ten sam środek: O1 = O2,
styczne wewnętrznie - mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = | r1 − r2 | ,
styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: d(O1,O2) = r1 + r2,
rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: d(O1,O2) < | r1 − r2 | , albo leżą na zewnątrz swoich kół: d(O1,O2) > r1 + r2,
przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: | r1 − r2 | < d(O1,O2) < r1 + r2.

Przestrzeń
Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Przestrzeń metryczna
Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. W dowolnej przestrzeni metrycznej mamy więc:

.
Metryka euklidesowa generuje okrąg, istnieją jednak metryki, które na płaszczyźnie euklidesowej generują zbiory takie jak kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o ). Na prostej okręgiem są punkty równo oddalone od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.

Matematyka

Okrąg i koło

Okręgiem o środku w punkcie O i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.
Kołem o środku w punkcie O i promieniu długości r nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyz...

Matematyka

Wzory-okrąg wpisany i opisany

Wzory na trapez,wysokość,długość przekątnej kwadratu,okrąg wpisany i opisany na/w trójkącie równobocznym....

Matematyka

Trójkąty, kwadraty, okręgi

TRÓJKĄTY
Trójkąt – płaska będąca wielokątem o trzech bokach. Jeden z boków to podstawa trójkąta a pozostałe – ramiona trójkąta.
Trójkąty dzielimy ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary kątów. P...

Matematyka

Matematyka - teoria

Liczby nieujemne to liczby dodatnie i zero.
Liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka
Liczby odwrotne to dwie liczby, których iloczyn jest równy jeden.
Liczby pierwsze to takie liczby naturalne w...

Matematyka

Funkcje trygonometryczne

Wykład niniejszy o zachowaniu się funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens polegał będzie na omówieniu tematu bez używania rysunków ani wykresów. Dodatkowym celem jaki sobie postawiłem jest ćwiczenie wyobraźni (imagi...