Zad1 y=-x²+2x+4 a=-1 b=2 c=4 x(w)=-b/2a x(w)=-2/-2=1 Stąd dla argumentu 1 wartość funkcji będzie największa, gdyż ramiona paraboli są skierowane do dołu: f(1)=-1²+2·1+4=-1+2+4=5 Najdalej na osi liczbowej od 1 w podanym przedziale znajduje się -1, stąd dla tego argumentu wartość funkcji będzie najmniejsza: f(-1)=-(-1)²+2·(-1)+4=-1-2+4=1 Zad2 x --- liczba 100-x --- druga liczba y=x(100-x) y=-x²+100x x(w)=-b/2a x(w)=-100/-2=50 Stąd dla argumentu 50, wartość funkcji będzie największa, toteż : f(50)=-50²+100·50=-2500+5000=2500 Odp.: Największa możliwa wartość tego iloczynu to 2500.
Zadanie 1 [latex]f(x)=x^2+2x+4\ f(x)=x^2+2x+1+3\ f(x)=(x+1)^2+3[/latex] Mając wzór w takiej postaci możemy odczytać, gdzie znajduje się parabola. +1 znajdujące się przy x informuje, że wierzchołek paraboli jest przesunięty o 1 jednostkę w lewo od początku układu współrzędnych, a +3 na końcu równości informuje, że cały wykres przenosimy o 3 jednostki do góry. A więc wierzchołek paraboli ma współrzędne (3;-1). Przedział, który analizujemy, zaczyna się od -1, czyli przecina wierzchołek paraboli, i kończy na liczbie 2. Funkcja w tym przedziale jest rosnąca, co oznacza, że największą wartość ma dla największego x z tego przedziału i analogicznie najmniejszą wartość ma dla najmniejszego x z tego przedziału. A więc największa wartość jest dla x=2, a najmniejsza dla x=-1. Wystarczy teraz wstawić x do wzoru: a) Największa wartość [latex]x=2\ f(x)=x^2+2x+4\ f(2)=2^2+2cdot2+4\ f(2)=12[/latex] b) Najmniejsza wartość [latex]x=-1\ f(x)=x^2+2x+4\ f(-1)=(-1)^2+2cdot(-1)+4\ f(-1)=3[/latex] Odpowiedź: Największa wartość funkcji w podanym przedziale to 12, a najmniejsza to 3. Zadanie 2 Oznaczmy jedną liczbę jako x, a drugą jako 100-x. Wtedy rzeczywiście ich suma: x+100-x=100 jest równa 100. Iloczyn tych liczb to x(100-x). Aby sprawdzić, jaka jest największa wartość, przedstawić równość w postaci funkcji. [latex]f(x)=x(100-x)\ f(x)=100x-x^2\ f(x)=-(x^2-100x+2500)+2500\ f(x)=-(x-50)^2+2500[/latex] Takie przekształcenie wzoru lepiej pozwala wyobrazić sobie wykres funkcji. Wiemy, że jest to odwrócona (z powodu minusa przy nawiasie podniesionym do kwadratu) parabola, której wierzchołek przesunięto o 50 jednostek w lewo i podniesiono do góry o 2500 jednostek do góry. Na wykresie odwróconej paraboli funkcja przyjmuje największą wartość właśnie w jej wierzchołku. Skoro wierzchołek został podniesiony o 2500 jednostek do góry to oznacza właśnie że [latex]y_{max}=2500[/latex]. Odpowiedź: Największa wartość tego iloczynu to 2500.
