a) Przekształć prawą stronę [latex]25^{log_5sqrt{3-x}}=5^{2log_5sqrt{3-x}}=5^{log_5(sqrt{3-x})^2}=5^{log_5(3-x)}=3-x[/latex] Wstaw do równania i zastosuj definicję logarytmu [latex]log_2(9-2^x)=3-x\ 9-2^x>0;;;;;;;;i;;;;;;3-x>0\ z;definicji\ 2^{3-x}=9-2^x\ 2^3cdot 2^{-x}=9-2^x;;;;;;;;podstaw;;;2^x=t;;;t>0\ frac{8}{t}=9-t;/cdot t\ t^2-9t+8=0\ Delta=49\ t_1=1;;;;;;wtedy;;;;;2^x=1;;;;;czyli;;;x=0\ t_2=8;;;;;wtedy;;;;;;;x=3;;ale;;;3-x>0;;sprzecznosc.[/latex] b)Podstaw logx=t [latex]frac{3}{t-1}=t+1;;;;;;;;x>0;;;;;x eq 10\ (t-1)(t+1)=3\ t^2-1=3\ t^2=4\ t=2;;;;;logx=2;;;;;;;;x=10^2=100\ lub\ t=-2;;;;;logx=-2;;;;;;;;;x=10^{-2}=0,01[/latex] c)Trzeba zlogarytmować obie strony równania [latex]log_2(x^{log_2x})=log_216\ (log_2x)cdot (log_2x)=4\ log_2x=2;;;;wtedy;;;;x=2^2=4\ lub\ log_2x=-2;;;;wtedy;;;;x=2^{-2}=frac{1}{4}\[/latex] d)frac{x^{log_3x}}{x^4}=frac{1}{27}\ x^4=27cdot x^{log_3x};;;;logarytmujesz;;obie;;strony\ .... x=3 lub x=27 W zadaniu ostatnim nie wiem,czy x-4 jest logarytmowane,czy tylko x,ale chyba dobry wariant uwzglądniam. Edytor mi się wiesza,zapisz prawą stronę jako iloczyn logarytmów i wprowadź zmienną t=log_3x
a) [latex]a)\ log_2(9-2^x)=25^{log_5sqrt{3-x}}\ log_2(9-2^x)=5^{log_5(sqrt{3-x})^2}\ log_2(9-2^x)=5^{log_5(3-x)}\ log_2(9-2^x)=3-x\ log_2(9-2^x)=log_22^{(3-x)}\ 9-2^x=2^{3-x}\ 9-2^x=frac{2^3}{2^x}\ -2^x-frac{2^3}{2^x}=-9 |*(-1)\ 2^x+frac{8}{2^x}=9 |*2^x\ 2^{2x}-9*2^x+8=0\ Zmienna pomocnicza: 2^x=t\ t^2-9t+8=0\ DELTA=49 => sqrt{}=7\ t_1=1\ t_2=8\ 2^x=8 v 2^x=1\ 2^x=2^3 v 2^x=2^0\ Odp: x=3 v x=0 [/latex] b)[latex]frac{3}{logx}-1=logx+1\ frac{3}{logx}=logx+2\ logx+2-frac{3}{logx}=0 |*logx\ log^2x+2logx-3=0\ Zmienna pomocnicza: logx=t\ t^2+2t-3=0\ DELTA=16 =>sqrt{}=4\ t_1=-3 [/latex] t∈Ф [latex]\ t_2=1\ logx=1\ logx=log10\ Odp: x=10[/latex] c)[latex]x^{log_2x}=16\ x^{log_2x}=x^{log_x16}\ log_2x=log_x16\ log_2x=frac{log_216}{log_2x}\ log_2x=frac{4}{log_2x} |*log_2x\ log_2^2x=4\ (log_2x-2)(log_2x+2)=0\ log_2x=2 V log_2x=-2\ log_2x=log_24 V [/latex] x ∈Ф [latex]\ Odp: x=4 [/latex] d)[latex]\x^{log_3(x-4)}=3^{-3}\ frac{x^{log_3x}}{x^{log_381}}=frac{1}{27}\ frac{x^{log_3x}}{x^4}=frac{1}{27}\ x^{log_3x}=3\ x^{log_3x}=x^{log_x3}\ log_3x=log_x3 |*log_3x\ log_3^2x=1\ (log_3x-1)(log_3x+1)=0\ log_3x=1 V log_3x=-1\ log_3x=log_33 V [/latex] x ∈Ф [latex]\ Odp: x=3[/latex]
rozwiąż równania: a) [latex]log_{25}x= frac{3}{2} [/latex] b) [latex]log_{2 sqrt{5}}|x|=2 [/latex] c) [latex]logx=log1600-4log2[/latex]...
