Zadania z WIELOMIANÓW :D Daje dużo punktów, proszę o rozwiązanie wszystkich, ponadto daje NAJ ;)

zad 1 W(x)=x³-1 W(√3+1)=(√3+1)³-1=√3³+3*√3²*1+3*√3*1²+1³-1=3√3+9+3√3=6√3+9 Odp. C [Wzór: sześcian sumy: (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³] ===================== zad 2 Wielomian W(x) można zapisać jako: W(x)=a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃) gdzie a-współczynnik przy najwyższej potędze; x₁, x₂, x₃ - pierwiastki wielomianu. --- W(x)=a(x-2)(x+1)(x-5) W(3)=40 40=a(3-2)(3+1)(3-5) 40=a*1*4*(-2) -8a=40 a=-5 Odp. B ===================== zad 3 W(x)=(4x²+9)(x⁴+1)(-x²+3x-10) 4x²+9=0 - wyrażenia nie można rozłożyć (nie ma pierwiastków) x⁴+1=0   - wyrażenia nie można rozłożyć (nie ma pierwiastków) -x²+3x-10=0  - delta ujemna - nie ma pierwiastków Δ=b²-4ac=3²-4*(-1)*(-10)=9-40=-31<0 Odp. A ===================== zad 4 W(x)=(2x³-3)²(6x⁹+1) W(x)=(4x⁶-12x³+9)(6x⁹+1) W(x)=4x¹⁵-... [Nie obliczam dalej ponieważ w zadaniu chodzi o stopień wielomianu, czyli o najwyższą potęgę] ===================== zad 5 W(x)=8x⁴-8 W(x)=8(x⁴-1) W(x)=8(x²-1)(x²+1) W(x)=8(x-1)(x+1)(x²+1) Wilomian W(x) jest podzielny przez każdą kombinację czynników w ostatnim wierszu.  Odp. D ===================== zad 6 W(x)=x³-3x+2 a) [Szukam pierwiastka] W(1)=1³-3*1+2 W(1)=0 1 - pierwiastek wielomianu, W(x) jest zatem podzielny przez dwumian x+1 (x³-3x+2):(x-1)=x²+x-2 -x³+x² --------       x²-3x+2      -x²+x      ----------            -2x+2             2x-2            -------                  0 W(x)=(x-1)(x²+x-2) x²+x-2=0 Δ=1²+4*1*(-2)=9 √Δ=3 x₁=[-b-√Δ]/2a=[-1-3]/2=-2 x₁=[-b+√Δ]/2a=[-1+3]/2=1 W(x)=(x-1)²(x+2) Pierwiastki wielomianu: x₁=1 - pierwiastek dwukrotny x₂=-3 --- b)  Q(x)=(x²+a)(x-a+b) Q(x)=x³-ax²+bx²+ax-a²+ab Q(x)=x³+x²(b-a)+ax+(ab-a²) By wielomiany W(x) i Q(x) były równe należy porównać współczynniki przy odpowiednich potęgach: W(x)=x³-3x+2 Q(x)=x³-x²(a-b)+ax+(ab-a²) 0=b-a   =>  b=a   =>b=-3 -3=a 2=ab-a²  => 2=(-3)*(-3)-(-3)²  =>  2=9-9  =>  2≠0 Odp. Nie istnieją takie a ib by wielomiany W(x) i Q(x) były równe ===================== zad 7 a) W(x)=-2x³+3x²+m²x-10 Wielomian jest podzielny przez dwumian x+2 z resztą 1-, czyli można zapisać, że W(-2)=10 10=-2*(-2)³+3*(-2)²-2m²-10 10=16+12-2m²-10 2m²-8=0 2(m²-4)=0 2(m-2)(m+2)=0 m=2  lub  m=-2 ---------- b) W(1)=0 0=-2*1+3*1+m²-10 0=-2+3+m²-10 m²=9 Wielomian W(x) przyjmuje postać: W(x)=-2x³+3x²+9x-10 Pierwiastki wielomianu: (-2x³+3x²+9x-10):(x-1)=-2x²+x+10   2x³-2x² ------------          x²+9x-10         -x²+x        --------              10x-10             -10x+10            ----------                     0 W(x)=(x-1)(-2x²+x+10) -2x²+x+10=0 Δ=b²-4ac=1-4*(-1)*10=1+80=81 √Δ=9 x₁=[-b-√Δ]/2a=[-1-9]/-4=5/2 x₂=[-b+√Δ]/2a=[-1+9]/-4=-2 W(x)=(x-1)(x-5/2)(x+2) Pierwiastki: x₁=1 x₂=5/2 x₃=-2  

1. [latex]W(x)=x^3-1\ x=sqrt{3}+1\ W(sqrt{3}+1})=(sqrt{3}+1})^3-1=|(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3|=3sqrt{3}+9+3sqrt{3}+1-1\ W(x)=underline{6sqrt{3}+9}[/latex] Odp. c) 2.Skoro liczby 2,-1,5 są pierwiastkami wielomianu to znaczy, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumiany (x-2);(x+1);(x-5) [TWIERDZENIE BEZOUTA]. Szukany wielomian W(x) jest wielomianem stopnia 3, więc można go przedstawić w postaci iloczynu 3 czynników.  [latex]W(x)=a(x-2)(x+1)(x-5)\ W(3)=40, wiec:\ 40=a(3-2)(3+1)(3-5)\ 40=-8a\ a=-5\ Odp. b)[/latex] Zad. 3 Piewiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę, dla której wielomian przyjmuje wartość 0.  [latex]W(x)=(4x^2+9)(x^4+1)(-x^2+3x-10)\ 0=(4x^2+9)(x^4+1)(-x^2+3x-10)\ Przyrownujemy czynniki w nawiasach do 0:\ 4x^2+9=0 x^4+1=0 -x^2+3x-10=0\ 4x^2=-9 x^4=-1 Delta=9-4*(-1)*(-10)=-31\ sprzecznosc sprzecznosc sprzecznosc\ Brak miejsc zerowych\ Odp.a)[/latex] Zad.4  Wystarczy pomnożyć najwyższe potęgi x w każdym z nawiasów przez siebie: [latex]W(x)=(2x^3-3)^2(6x^9+1)\ (x^3)^2x^9=x^6x^9=x^{15}\ Odp. c)[/latex] Zad.6 a)[latex]W(x)=x^3-3x+2\ Szukamy pierwiastkow wielomianu:\ Na podstawie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu:\ pierwiastkami moga byc:\ -2,-1,1,2\ W(-2)=0\ Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x+2)\ Wykonujemy dzielenie dowolnym sposobem:\ r/W(x) 1 0 -3 2 R\ -2 1 -2 1 0 0\ P(x)=x^2-2x+1\ [/latex] [latex]W(x)=(x+2)P(x)=(x+2)(x^2-2x+1)\ Delta=4-4*1*1=0\ x=frac{2}{2}=1\ W(x)=(x+2)(x-1)^2\ To jest nasz rozlozony na czynniki wielomian\ Pierwiastkami tego wielomianu sa liczby:\ 1-pierwiastek dwukrotny\ -2-pierwiatek jednokrotny\[/latex] b)[latex]Q(x)=(x^2+a)(x-b+a)=x^3-bx^2+ax^2+ax-ab+a^2=\x^3+(a-b)x^2+ax-ab+a^2\ W(x)=x^3-3x+2=Q(x)\ Twierdzenie o rownosci wielomianow:\ a-b=0\ a=-3\ -ab+a^2=2\ 3b+9=2\ 3b=-7\ b=-frac{7}{3}\ -3+frac{7}{3} eq0\ Nie istnieje taka para liczb ab, wiec nie istnieje taki wielomian.[/latex] Zad. 7 [latex]a) W(r)=b <=> W(x):(x-r)=b\ W(x)=-2x^3+3x^2+m^2x-10\ W(x):(x+2)=10<=>W(-2)=10\ 10=-2(-2)^3+3(-2)^2-2m^2-10\ 10=16+12-10-2m^2\ 10=18-2m^2\ 10-18=-2m^2\ -8=-2m^2\ 4=m^2\ m_1=2\ m_2=-2\ Odp. Warunki zadania sa spelnione dla minlbrace-2;2 brace[/latex] [latex]b)\ 0=-2*(1)^2+3*1^2+m^2*1-10\ 0=-2+3+m^2-10\ 0=1-10+m^2\ 9=m^2\ m_1=3\ m_2=-3\ Szukanymi wielomianami sa:\ W(x)=-2x^3+3x^29x-10\ V(x)=-2x^3+3x^2+9x-10\ Wielomiany te sa rowne,wiec szukanym wielomianem jest\ W(x)=-2x^3+3x^2+9x-10[/latex] Zad. 5 Odp. d) -4 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.