Aby obliczyć prędkość satelity musimy skorzystać ze wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną, czyli najmniejszą prędkość, jaką trzeba nadać ciału, aby poruszało się po orbicie danego ciała niebieskiego (np. którejś z planet) i nie spadło na jego powierzchnię. Wyprowadzamy, więc wzór na tą prędkość. Siła dośrodkowa ([latex]Fd=frac{mv^{2}}{R}[/latex]) równa jest sile grawitacji ([latex]Fg=Gfrac{Mm}{R^{2}}[/latex]): [latex]frac{mv^{2}}{R}=Gfrac{Mm}{R^{2}}| :m[/latex] [latex]frac{v^{2}}{R}=frac{GM}{R^{2}}| cdot R[/latex] [latex]v^{2}=frac{GM}{R}| sqrt[/latex] [latex]v=sqrtfrac{GM}{R}[/latex] gdzie: G - stała grawitacji R - promień orbity satelity M - masa ciała niebieskiego, np. planety m - masa satelity v - prędkość satelity a) Dane: h=600km Rz=6400km M=6*10²⁴kg G=6,67*10⁻¹¹Nm²/kg² Szukane: v=? Wzór: v=√GM/R R=Rz+h Rozwiązanie: R=6400km+600km R=7000km=7000000m=7*10⁶m [latex]v=sqrtfrac{6,67*10^{-11}frac{Nm^{2}}{kg^{2}} cdot 6 cdot 10^{24}kg}{7 cdot 10^{6}m}[/latex] [latex]v=sqrtfrac{40,02 cdot 10^{13} frac{Nm^{2}}{kg}}{7 cdot 10^{6}m}[/latex] [latex]v=sqrt{5,717 cdot 10^{7}frac{m^{2}}{s^{2}}}[/latex] [latex]vapprox7560frac{m}{s}approx7,56frac{km}{s}[/latex] Odp. Prędkość satelity wynosi ok. 7,56km/s. b) Najpierw obliczamy, jaką część pierwszej prędkości kosmicznej stanowi obliczona prędkość, następnie wynik odejmiemy od 100%, otrzymując wynik kolejny wynik informujący nas, o ile procent mniejsza jest ta prędkość. [latex]frac{7,56frac{km}{s}}{7,9frac{km}{s}}cdot100 (procent)approx96(procent)[/latex] [latex]100(procent)-96(procent)approx4(procent)[/latex] Odp. Prędkość ta jest mniejsza od pierwszej prędkości kosmicznej o ok. 4%. c) Aby obliczyć okres obiegu tego satelity, potrzebny jest nam wzór na prędkość w ruchu po okręgu, który ma postać: [latex]v=frac{2pi r}{T}[/latex] ... teraz pozostaje przekształcić go takiej postaci, w której otrzymamy wzór na okres w tym ruchu: [latex]v=frac{2pi r}{T}| cdot T [/latex] [latex]vT=2pi r| :v[/latex] [latex]T=frac{2pi r}{v}[/latex] ... i podstawienie wartości liczbowych. Dane: v=7560m/s=7,56*10³m/s r=7*10⁶m Szukane: T=? Wzór: [latex]v=frac{2pi r}{T}| cdot T [/latex] [latex]vT=2pi r| :v[/latex] [latex]T=frac{2pi r}{v}[/latex] Rozwiązanie: [latex]Tapproxfrac{2 cdot 3,14 cdot 7 cdot 10^{6}m}{7,56 cdot 10^{3}frac{m}{s}}[/latex] [latex]Tapproxfrac{43,96 cdot 10^{6}m}{7,56 cdot 10^{3}frac{m}{s}}[/latex] [latex]Tapprox5,8148 cdot 10^{3}sapprox5814,8sapprox97 min[/latex] Odp. Okres obiegu tego satelity wynosi ok. 97 min. 1. Wybacz, ale Latex nie obsługuje procentów, więc napisałam je słownie, a Ty zamiast tego napisz "%" 2. Gdybyś potrzebowała dyskusji jednostek (czy tzw. ich rachunku) - daj znać. W razie wszelkich pytań i wątpliwości - pisz. Pozdrawiam.
