Funkcja kwadratowa: Postać ogólna: y=ax²+bx+c Δ=b²-4ac x₁=[-b-√Δ]/2a x₂=[-b-√Δ]/2a Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y=a(x-p)²+q, gdzie p,q - współrzędne wierzchołka p=-b/2a q=-Δ/4a Δ=b²-4ac Postać iloczynowa: y=a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁,x₂ - miejsca zerowe (pierwiastki) Wzory skróconego mnożenia: (a+b)²=a²+2ab+b² - kwadrat sumy; (a-b)²=a²-2ab+b² - kwadrat różnicy; a²-b²=(a-b)(a+b) - różnica kwadratów; (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - sześcian sumy; (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - sześcian różnicy; a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) - suma sześcianów; a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) - różnica sześcianów; ========================= a) y=x²+4x+2 y=(x+2)² Miejsce zerowe: (x+2)²=0 x+2=0 x=-2 ------------- b) y=x²+6x+9 y=(x+3)² Miejsce zerowe: (x+3)²=0 x+3=0 x=-3 [W obu przykładach korzystałam ze wzoru na kwadrat sumy] ========================= a) -x²+x+2>0 Δ=1-4*(-1)*2=1+8=9 √Δ=3 x₁=[-1-3]/(-2)=2 x₂=[-1+3]/(-2)=-1 x∈(-1, 2) ------------- b) x²-4x+a≤0 Δ=(-4)²-4*1*a=16-4a=4(4-a) --- 1) Równanie ma dwa pierwiastki: Δ>0 16-4a>0 a<-4 a∞(-∞, 4) √Δ=2√[4-a] x₁=[4-2√[4-a]]/2=2-√[4-a] x₂=[4+2√[4-a]]/2=2+√[4-a] x∈(2-√[4-a], 2+√[4-a]) --- 2) Rozwiązanie ma jeden pierwiastek (wierzchołek baraboli leży na osi Ox): Δ=0 4(4-a)=0 a=4 Równanie przyjmuje postać: y=x²-4x+4 y=(x-2)² Mz: x=2 --- 3) Równanie nie ma pierwiastków: Δ<0 4(4-a)<0 a>4 a∈(4, ∞) Współczynnik kierunkowy a funkcji a=1 jest dodatni - parabola jest skierowana ramionami w górę i w żadnym punkcie nie przecina osi Ox, czyli wykres funkcji leży nad osią Ox. Dla żadnego x nie będzie wtedy spełniona powyższa nierówność, czyli: x∈Ф
Zad1 a) [latex]x^2+4x+2=0[/latex] [latex]Delta=16-4*2=8[/latex] [latex] sqrt{Delta}=sqrt{8}=2sqrt{2}[/latex] [latex]x_1=frac{-4-2sqrt{2}}{2}=-2-sqrt{2}[/latex] [latex]x_2=frac{-4+2sqrt{2}}{2}=-2+sqrt{2}[/latex] b) [latex]x^2+6x+9[/latex] [latex](x+3)^2=0[/latex] Możesz też z delty;) [latex]x_1=x_2=-3[/latex] Zad2 a) [latex]-x^2+x+2=0[/latex] [latex]Delta=1+8=9[/latex] [latex]x_1=frac{-1-3}{-2}=2[/latex] [latex]x_2=frac{-1+3}{-2}=-1[/latex] [latex] x in (-1,2) [/latex] b) [latex] x^2-4x+a leq 0[/latex] [latex]Delta=16-4a[/latex] [latex]x_1=frac{4-sqrt{16-4a}}{2}=2-sqrt{4-a}[/latex] [latex]x_2=frac{4+sqrt{16-4a}}{2}=2+sqrt{4-a}[/latex]
