Wektory w matematyce Referat

Wektor

Rachunek wektorowy jest to dział matematyki, część geometrii analitycznej, rozwijany w XIX w. głównie przez W.R. Hamiltona, irlandzkiego matematyka badający własności działań na wektorach.

Wektor to uporządkowana para punktów A, B, gdzie punkt A jest początkiem wektora a punkt B jego końcem.
W interpretacji geometrycznej wektor to leżący na prostej i zawierający punkty A, B skierowany odcinek:

[A, B] = - [B, A]

Istnieje kilka sposobów notacji wektora:




Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych jego końca i początku Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az, długość wektora jest długością odcinka AB.

Kierunkiem wektora nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B.
Aby zilustrować drogę z jednego punktu do drugiego, nie tylko wystarczy podać te punkty; należy jeszcze wskazać, który z nich jest pierwszy, który drugi.
Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem, drugi –końcem wektora. Odległość miedzy początkiem i końcem wektora nazywamy jego długością. Na oznaczenie wektora o początku A i końcu B będziemy używać symbolu .Będziemy również oznaczać wektor symbolem , gdy nie będzie potrzeby wyraźnie wskazywać początku i końca wektora.
Wektor, którego początkiem i końcem jest ten sam punkt nazywamy wektorem zerowym. Dwa wektory niezerowe nazywamy równoległymi, jeśli proste wyznaczone przez te wektory są równolegle. O wektorach równoległych mówimy, że mają ten sam kierunek. Dwa wektory mające ten sam kierunek mogą być zgodnie albo przeciwnie skierowane. Wyjaśnia to następująca definicja.

Dwa wektory równoległe nie leżące na jednej prostej mają zgodny zwrot, jeśli leżą w jednej półpłaszczyźnie o krawędzi będącej prostą przechodzącą przez ich początki; natomiast mają przeciwny zwrot, jeśli leżą w dwóch uzupełniających się półpłaszczyznach o krawędzi będącej prostą przechodzącą przez ich początki.





Dwa wektory równoległe leżące na jednej prostej mają zgodny zwrot, jeśli półprosta wyznaczona przez jeden z nich zawiera się w półprostej wyznaczonej przez drugi, natomiast maja zwrot przeciwny, jeśli żadna z dwóch półprostych wyznaczonych przez te wektory nie zawiera się w drugiej.

Możemy teraz określić równość wektorów.
Dwa niezerowe wektory są równe, jeśli maja równą długość ten sam kierunek, zgodny zwrotem.
Dwa wektory równe maga mieć rożne początki, tzn. rożne punkty zaczepienia. W każdym punkcie można zaczepić wektor równy danemu. Wystarczy przez dany punkt poprowadzić prostą równoległą do danego wektora, wyznaczyć na niej dwa punkty odlegle od punktu danego o długość wektora i wybrać ten z tych punktów, który jest końcem wektora mającego z danym zgodny zwrot.

Określimy obecnie dodawanie wektorów.
Przypuśćmy, że dane są dwa wektory . Obierzmy dowolny punkt A i zaznaczmy w tym punkcie wektor równy wektorowi . Następnie w punkcie B zaczepmy wektor równy wektorowi . Określmy wektor jako sumę wektorów . Wynik dodawania wektorów jest wektorem, wyznaczonym jednocześnie z dokładnością do punktu zaczepienia; w każdym punkcie można zaczepić wektor równy sumie dwóch danych wektorów.
Jeśli wektory nie maja tego samego kierunku, sumę otrzymujemy stosując tzw., regułę równoległoboku: zaczepiając w dowolnym punkcie A pierwszy z danych wektorów, a następnie w jego końcu drugi z danych wektorów, otrzymujemy ten sam punkt C, który powstaje w wyniki zaczepienia najpierw w punkcie A drugiego wektora, a następnie w jego końcu wektora pierwszego. Otrzymujemy w ten sposób równoległobok, którego sąsiednie boki są wyznaczone przez dane wektory, a suma wektorów jest wektorem wyznaczonym przez przekątną tego równoległoboku. W przypadku, gdy wektory mają ten sam kierunek zasada dodawania oczywiście jest taka sama, tyle tylko, że nie otrzymamy w tym przypadku równoległoboku; dwa dodawane wektory i ich suma leżą na jednej prostej.
Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego.
Mnożenie przez liczbę jest mnożeniem wszystkich składowych oddzielnie. Mnożenie dwóch wektorów określone jest dwojako, jako iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.

Wektorem przeciwnym do danego wektora nazywamy wektor, mający tę samą długość i ten sam kierunek, co wektor ale przeciwny zwrot

Wektor przeciwny do wektora oznaczamy symbolem - .

Wektory dzieli się na swobodne (tj. niezmieniające się przy translacji, czyli przesunięciu równoległym, jakim jest jedno z najprostszych przekształceń geometrycznych, polegające na dodaniu do każdego punktu przestrzeni jednakowego wektora będącego parametrem translacji) i zaczepione.