1) ( m -1) x + m > 0 i m - 1 < 0 i m musi być różne od 1 ( m - 1) x > - m / : ( m - 1) - liczba ujemne x < - m /( m - 1) < 1 => - m < m - 1 => - 2 m < - 1 => m > 1/2 m - 1 < 0 => m < 1 Sprawdzam dla m = 1/2 i dla m = 1 f(x) = ( -1/2) x + 1/2 > 0 => ( -1/2) x > - 1/2 => x < 1 f( x) = ( 1 - 1) x + 1 = 1 > 0 m należy do < 1/2 ; 1 > ====================== 2) x^2 + ( m -2) x + 4 - 2m > 0 jeżeli delta < 0 delta = ( m - 2)^2 - 4*1*( 4 - 2m) = m^2 - 4m + 4 - 16 + 8m = m^2 + 4m - 12 zatem m^2 + 4m - 12 < 0 delta1 = 4^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64 p( delta1 ) = 8 m1 = [ - 4 - 8]/2 = - 6 m2 = [ - 4 + 8]/ 2 = 2 delta < 0 <=> m należy do ( - 6; 2) ================================== < 1/2 ; 1 > n ( - 6; 2) = < 1/2 ; 1 > Odp. m należy do < 1/2 ; 1 > =====================
[latex]f(x)=left { {{(m-1)x+m dla x<1} atop {x^2+(m-2)x+4-2m dla xgeq1}} ight. [/latex] Dla x < 1 funkcja f(x) opisana jest wzorem: f(x) = (m - 1)x + m. Zatem dla x ∈ (- ∞; 1) funkcja f(x) jest funkcją liniową i aby miała wartości dodatnie, to jej współczynnik kierunkowy musi być niedodatni, bo w przeciwnym wypadku przyjmowałaby ujemne wartości, czyli: m - 1 ≤ 0 m ≤ 1, czyli dla m ∈ (- ∞; 1> Ponadto, aby wartości tej funkcji były dodatnie, to dla x = 1 funkcja f(x) też musi mieć nieujemną wartość, zatem: (m - 1) · 1 + m ≥ 0 m - 1 + m ≥ 0 2m - 1 ≥ 0 2m ≥ 1 /:2 m ≥ ½, czyli dla m ∈ <½; + ∞) Zatem w przedziale (- ∞; 1) funkcja f(x) będzie miała wartości dodatnie dla: m ∈ (- ∞; 1> n <½; + ∞) = <½; 1> Dla x ≥ 1 funkcja f(x) opisana jest wzorem: f(x) = x² + (m - 2)·x + 4 - 2m. Zatem w przedziale <1; + ∞) wykres funkcji jest parabolą, której ramiona są skierowane w górę (a = 1 > 0) Funkcja kwadratowa dla a > 0 jest rosnąca w przedziale (p; + ∞), gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka oraz [latex]p = frac{- b}{2a}[/latex] Sprawdzamy, czy w przedziale <1; + ∞) funkcja f(x) jest rosnąca [latex]p = frac{- (m - 2)}{2 cdot 1} = -frac{m - 2}{2}[/latex] Z pierwszej części obliczeń wiemy, że m ∈ <½; 1> czyli możemy sprawdzić, wspólrzędną wierzchołka paraboli: - dla m = ½ ⇒ [latex]p = -frac{frac{1}{2} - 2}{2} = -frac{-frac{3}{2}}{2} = frac{3}{4}[/latex] i wtedy funkcja f(x) będzie rosnąca w przedziale (¾; + ∞) - dla m = 1 ⇒ [latex]p = -frac{1 - 2}{2} = -frac{-1}{2} = frac{1}{2}[/latex] i wtedy funkcja f(x) będzie rosnąca w przedziale (½; + ∞), zatem na pewno w przedziale <1; + ∞) funkcja f(x) jest rosnąca, więc aby jej wartości były dodatnie to muszą być dodatnie dla x = 1, stąd otrzymujemy: 1² + (m - 2)·1 + 4 - 2m > 0 1 + m - 2 + 4 - 2m > 0 - m + 3 > 0 - m > - 3 /·(- 1) m < 3, czyli dla m ∈ (- ∞; 3) Uwzględniając oba warunki otrzymujemy: m ∈ <½; 1> n (- ∞; 3) = <½; 1> funkcja f(x) przyjmuje tylko dodatnie wartości Odp. Funkcja f(x) przyjmuje tylko dodatnie wartości dla m ∈ <½; 1>
