[latex]frac{log_{a}{x}}{log_{c}{x}}=frac{log_{a}{x}-log_{b}{x}}{log_{b}{x}-log_{c}{x}}[/latex] a, b, c - tworzą ciąg geometryczny, czyli można zapisać: a=a b=aq c=aq² Podstawiam do równania: [latex]frac{log_{a}{x}}{log_{aq^{2}}{x}}=frac{log_{a}{x}-log_{aq}{x}}{log_{aq}{x}-log_{aq^{2}}{x}}[/latex] --- [Rozwiązuję zadanie stopniowo] Prawa strona (licznik): [latex]log_{a}{x}-log_{aq}{x}=frac{1}{log_{x}{a}}-frac{1}{log_{x}{(aq)}}=frac{1}{log_{x}{a}}-frac{1}{log_{x}{a}+log_{x}{q}}=\ =frac{log_{x}{a}+log_{x}{q}-log_{x}{a}}{log_{x}{a}(log_{x}{a}+log_{x}{q})}=frac{log_{x}{q}}{log_{x}{a}(log_{x}{a}+log_{x}{q})}[/latex] Prawa strona (mianownik): [latex]log_{aq}{x}-log_{aq^{2}}{x}=frac{1}{log_{x}{(aq)}}-frac{1}{log_{x}{(aq^{2})}}=frac{log_{x}{(aq^{2})}-log_{x}{(aq)}}{log_{x}{(aq)}*log_{x}{(aq^{2})}}=\ =frac{log_x{a}+2log_{x}{q}-log_{x}{a}-log_{x}{q}}{(log_{x}{a}+log_{x}{q})(log_{x}{a}+log_{x}{q^{2}})}=frac{log_{x}{q}}{(log_{x}{a}+log_{x}{q})(log_{x}{a}+log_{x}{q^{2}})}[/latex] Całość (prawa strona): [latex]P=frac{frac{log_{x}{q}}{log_{x}{a}(log_{x}{a}+log_{x}{q})}}{frac{log_{x}{q}}{(log_{x}{a}+log_{x}{q})(log_{x}{a}+log_{x}{q^{2}})}}=frac{log_{x}{a}+log_{x}{q^{2}}}{log_{x}{a}}=frac{log_{x}{aq^{2}}}{log_{x}{a}}=frac{frac{1}{log_{aq^{2}}{x}}} {frac{1}{log_{a}{x}}}=\ =frac{frac{1}{log_{c}{x}}}{frac{1}{log_{a}{x}}}=frac{log_{a}{x}}{log_{c}{x}}=L[/latex]
[latex]frac{log_ax}{log_c x}=frac{log_ax-log_bx}{log_bx-log_cx}[/latex] [latex]frac{frac{log x}{loga}}{frac{log x}{logc}}=frac{frac{log x}{loga}-frac{logx}{log b}}{frac{logx}{logb}-frac{logx}{logc}}[/latex] [latex]frac{log x}{loga} : frac{log x}{logc}=frac{frac{log x cdot log b}{loga cdot log b}-frac{logx cdot log a}{log a cdot log b}}{frac{logx cdot log c}{logb cdot log c}-frac{logx cdot log b }{log b cdot logc}}[/latex] [latex]frac{log x}{loga} cdot frac{log c}{logx}=frac{frac{log x cdot log b-logx cdot log a}{loga cdot log b}}{frac{logx cdot log c-logx cdot log b}{logb cdot log c}}[/latex] [latex]frac{log c}{loga} =frac{frac{log x cdot (log b-log a)}{loga cdot log b}}{frac{logx cdot (log c-log b)}{logb cdot log c}}[/latex] [latex]frac{log c}{loga} =frac{log x cdot (log b-log a)}{loga cdot log b} : frac{logx cdot (log c-log b)}{logb cdot log c}[/latex] [latex]frac{log c}{loga} =frac{log x cdot (log b-log a)}{loga cdot log b} cdot frac{logb cdot log c}{logx cdot (log c-log b)}[/latex] [latex]frac{log c}{loga} =frac{log c cdot (log b-log a)}{loga cdot (log c-log b)} / cdot frac{log a}{logc}[/latex] [latex]frac{log b-log a}{log c-log b} = 1 / cdot (log c-log b)[/latex] [latex]log b-log a = log c-log b[/latex] [latex]log frac{b}{a} = log frac{c}{b}[/latex] Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych, bo funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa. [latex] frac{b}{a} = frac{c}{b}[/latex] [latex]b^2 = a cdot c[/latex] a to, na podstawie własności ciągu geometrycznego potwierdza, że liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny, bo każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego, co możemy zapisać: b² = a · c
