Samochód jedna polowe drogi przebyl z predkoscia v1 a druga polowe z predkoscia v2. Oblicz predkosc srednia na calej drodze. dane: [latex]v_1, v_2[/latex] szukane: [latex]v_sr=? \ \ \ v_sr=frac{v_1+v_2}{2}[/latex] Samochod pierwsza polowe czasu przejechal z czasem t1 a druga polowe z t2. Oblicz czas sredni na calej drodze. dane: [latex]t_1, t_2[/latex] szukane: [latex]t_sr=? \ \ \ t_sr=frac{t_1+t_2}{2}[/latex]
1. Sytuacja. Pierwszą połowę drogi samochód pokonał w czasie: t₁=½s/v₁ Drugą połowę natomiast w czasie: t₂=½s/v₂ Całą drogę pokonał w czasie: t=t₁+t₂ Zatem: v(śr)=s/t=s/t₁+t₂ v(śr)=s/(½s/v₁+½s/v₂)=s/(½s(1/v₁+1/v₂))=1/(1/v₁+1/v₂)/2 Jest to średnia harmoniczna prędkości v₁ i v₂. v(śr)=1/(1/v₁+1/v₂)/2=2/(1/v₁+1/v₂)=2/(v₂/v₁v₂+v₁/v₁v₂)=2/v₁+v₂/v₁v₂=2v₁v₂/v₁+v₂ v(śr)=2v₁v₂/v₁+v₂ 2. Sytuacja. Jeżeli samochód pokonał pierwszą połowę czasu, to znaczy, że były 2 równe połowy czasu, czyli oznaczenie t₁ oraz t₂ nie ma najmniejszego sensu, gdyż wartość zwana "czas średni" nie istnieje. Liczymy tylko prędkość średnią, a więc prędkość średnia z 2-ma równymi połowami czasu i prędkościami v₁ oraz v₂: v=s/t s=v*t t=s/v W pierwszej połowie czasu pokonujemy drogę: s₁=½t*v₁ W drugiej połowie czasu pokonujemy drogę: s₂=½t*v₂ Zatem cała droga: s=½t*v₁+½t*v₂=½t(v₁+v₂) Ale: v(śr)=s/t=½t(v₁+v₂)/t=½(v₁+v₂) Zatem mamy: v(śr)=½(v₁+v₂)
