[latex]-frac{1}{2} cdot (x^3+9x^2+11x-21) geq (x+3)(x+5)(5+3x) / cdot (- 2)[/latex] [latex]x^3+9x^2+11x-21 leq - 2 cdot (x+3)(x+5)(5+3x)[/latex] [latex]x^3+9x^2+11x-21 leq (-2x-6)(5x + 3x^2 + 25 + 15x)[/latex] [latex]x^3+9x^2+11x-21 leq (-2x-6)(3x^2 + 20x + 25)[/latex] [latex]x^3+9x^2+11x-21 leq -6x^3 - 40x^2 - 50x - 18x^2 - 120x - 150[/latex] [latex]x^3+9x^2+11x-21 leq -6x^3 - 58x^2 - 170x - 150[/latex] [latex]x^3+9x^2+11x-21+6x^3+58x^2+170x+150 leq 0[/latex] [latex]7x^3+67x^2+181x+129 leq 0[/latex] Wyznaczamy miejsca zerowe: [latex]7x^3+67x^2+181x+129 = 0[/latex] _______________________________________________________________________ Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego. [latex]D_{129} ={-1; 1; -3; 3; -43; 43;-129;129}[/latex] Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy W(a) = 0. W(- 1) = 7·(-1)^3+67·(-1)^2+181·(-1)+129 = 7·(-1)+67·1-181+129 = -7+67-181+129 = 8, czyli liczba (- 1) nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x) W(1) = 7·1^3+67·1^2+181·1+129= 7·1+67·1+181+129 = 7+67+181+129 = 384, czyli liczba 1 nie jest pierwiastkiem wielomianu W(x) W(- 3) = 7·(-3)^3+67·(-3)^2+181·(-3)+129 = 7·(-27)+67·9-543+129= -189 +603-543+129 = 0, czyli liczba (-3) jest pierwiastkiem wielomianu W(x) Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - a). Zatem: [latex](7x^3+67x^2+181x+129) :(x + 3) =[/latex] Dzielenie wykonamy stosując schemat Hornera: [latex]egin{tabular}{|c|c|c|c|c|} hline & +7 & +67 &+181& +129\ hline -3 & & -21&-138&-129 \ hline & +7 &+46&+43&0 \ hline end{tabular} [/latex] [latex]= 7x^2 + 46x + 43[/latex] Stąd: [latex]7x^3+67x^2+181x+129 =(x + 3)(7x^2 + 46x + 43)[/latex] ---------------------------------------- Jeżeli nie znamy schematu Hornera możemy podzielić "tradycyjne": (7x³ + 67x² + 181x + 129) :(x + 3) = 7x² + 46x + 43 - 7x³ - 21x² -------------- + 46x² + 181x + 129 - 46x² - 138x --------------- + 43x + 129 - 43x - 129 --------------- R = 0 Stąd 7x³ + 67x² + 181x + 129 = (x + 3)(7x² + 46x + 43) ---------------------------------------- Zatem: [latex]7x^3+67x^2+181x+129 = 0[/latex] [latex](x + 3)(7x^2 + 46x + 43) = 0[/latex] [latex]x + 3 = 0 lub 7x^2 + 46x + 43 = 0[/latex] [latex]x + 3 = 0[/latex] [latex]x = - 3[/latex] [latex]7x^2 + 46x + 43 = 0[/latex] [latex]Delta = 46^2 - 4 cdot 7 cdot 43 = 2116 -1204= 912[/latex] [latex]sqrt{Delta} = sqrt{912} = sqrt{16 cdot 57} = 4sqrt{57}[/latex] [latex]x_1 = frac{-46-4sqrt{57}}{2 cdot 7} = frac{2 cdot (-23-2sqrt{57})}{14} = frac{-23-2sqrt{57}}{7} approx - 5,44 [/latex] [latex]x_2 = frac{-46+4sqrt{57}}{2 cdot 7} = frac{2 cdot (-23+2sqrt{57})}{14} = frac{-23+2sqrt{57}}{7} approx - 1,13[/latex] _______________________________________________________________________ [latex]7x^3+67x^2+181x+129 leq 0[/latex] Zaznaczamy pierwiastki: [latex]x_1 = frac{-23+2sqrt{57}}{7}; x_2 = - 3; x_3 = frac{-23-2sqrt{57}}{7}[/latex] na osi liczbowej i rysujemy przybliżony wykres. ------------------------- Wykres zaczynamy rysować od prawej strony od góry, bo a = 7 > 0, wykres przecina oś OX w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne. patrz załącznik ------------------------- Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności [latex]7x^3+67x^2+181x+129 leq 0[/latex] ------------------------- czyli zbiór tych argumetów x, dla których wartości są mniejsze lub równe zero - jest to zbiór pierwszych współrzędnych punktów wykresu, które leżą na i pod osią OX ------------------------- Zatem: [latex]x in (- infty; x_3 angle cup langle x_2; x_1 angle[/latex] [latex]x in (- infty; frac{-23-2sqrt{57}}{7} angle cup langle -3; frac{-23+2sqrt{57}}{7} angle[/latex]
