a) [latex]log_3 (x^2 + 5) = 2[/latex] x² + 5 > 0 wyrażenie x² + 5 jest wieksze od zera dla każdego x, zatem x ∈ R D = R [latex]log_3 (x^2 + 5) = 2[/latex] Na podstawie def. logarytmu otrzymujemy: ------------------------------------ [latex]log_a b = c Leftrightarrow a^c = b, dla a, b > 0 i a eq 1[/latex] ------------------------------------ [latex]x^2 + 5 = 3^2[/latex] [latex]x^2 + 5 = 9[/latex] [latex]x^2 + 5 - 9 = 0[/latex] [latex]x^2 - 4 = 0[/latex] [latex](x - 2)(x + 2) = 0[/latex] [latex]x - 2 = 0 lub x + 2 = 0[/latex] [latex]x - 2 = 0[/latex] [latex]x = 2 in D[/latex] [latex]x + 2 = 0[/latex] [latex]x = - 2 in D[/latex] Odp. x = - 2 lub x = 2 b) [latex]log_{frac{1}{2}} (x^2 + 1) = -1[/latex] x² + 1 > 0 wyrażenie x² + 1 jest wieksze od zera dla każdego x, zatem x ∈ R D = R [latex]log_{frac{1}{2}} (x^2 + 1) = -1[/latex] Na podstawie def. logarytmu (patrz punkt a) otrzymujemy: [latex]x^2 + 1 = (frac{1}{2})^{-1}[/latex] [latex]x^2 + 1 = 2^1[/latex] [latex]x^2 + 1 = 2[/latex] [latex]x^2 + 1 - 2 = 0[/latex] [latex]x^2 - 1 = 0[/latex] [latex](x - 1)(x + 1) = 0[/latex] [latex]x - 1 = 0 lub x + 1 = 0[/latex] [latex]x - 1 = 0[/latex] [latex]x = 1 in D[/latex] [latex]x + 1 = 0[/latex] [latex]x = - 1 in D[/latex] Odp. x = - 1 lub x = 1 c) [latex]log_4 (frac{2}{x-1}) = log_4 (4-x)[/latex] [latex]frac{2}{x-1} > 0 i x - 1 eq 0 i 4-x > 0[/latex] [latex]2cdot (x-1) > 0 i x - 1 eq 0 i 4-x > 0[/latex] [latex]2cdot (x-1) > 0[/latex] [latex]2x-2 > 0[/latex] [latex]2x > 2 /: 2[/latex] [latex]x > 1[/latex] [latex]x - 1 eq 0[/latex] [latex]x eq 1[/latex] [latex]4-x > 0[/latex] [latex]-x > -4 / cdot (- 1)[/latex] [latex]x < 4[/latex] Zatem: [latex]x > 1 i x eq 1 i x < 4, czyli 1 < x < 4[/latex] D = (1; 4) [latex]log_4 (frac{2}{x-1}) = log_4 (4-x)[/latex] Z własności funkcji logarytmicznej: funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa i dlatego, jeśli po obu stronach równania są logarytmy o tej samej podstawie to liczby logarytmowane są równe, czyli możemy opuścić logarytmy, stąd: [latex]frac{2}{x-1} = 4-x[/latex] [latex]frac{2}{x-1} = 4-x / cdot (x - 1)[/latex] [latex]2 = (4-x)(x - 1)[/latex] [latex]2 = 4x - 4 - x^2 + x[/latex] [latex]2 = - x^2 + 5x - 4[/latex] [latex]2 + x^2 - 5x + 4 = 0[/latex] [latex]x^2 - 5x + 6 = 0[/latex] [latex]Delta = (- 5)^2 - 4 cdot 1 cdot 6 = 25 - 24 = 1[/latex] [latex]sqrt{Delta} = sqrt{1} = 1[/latex] [latex]x_1 = frac{5 - 1}{2 cdot 1} = frac{4}{2} = 2 in D[/latex] [latex]x_2 = frac{5 + 1}{2 cdot 1} = frac{6}{2} = 3 in D[/latex] Odp. x = 2 lub x = 3
