obliczyć granicę ciągu: [latex]lim_{n o infty} left( frac{1}{n+1} +frac{1}{n+2} +...+frac{1}{2n} ight)[/latex]

Obliczenie tego limesa jest stosunkowo kłopotliwe i wymaga kilku kroków. Po pierwsze zwróćmy uwagę, że liczba elementów w tej sumie rośnie. Zapiszmy więc to ogólnie:   [latex]lim_{n o infty}a_n = g[/latex]   Teraz poszukujemy naszej granicy g. Na początku zobaczmy jak przedstawia się element a_n oraz a_n+1:   [latex]a_n = frac{1}{n+1} + frac{1}{n+2} + ldots + frac{1}{2n}[/latex]   oraz:   [latex]a_{n+1} = frac{1}{n+2} + frac{1}{n+3} + ldots + frac{1}{2n} + frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+2}[/latex]   Można teraz zauważyć, że element [latex]a_{n+1}[/latex] zawiera cząstkę elementu [latex]a_n[/latex] bez pierwszego elementu oraz z dodatkowymi dwoma na końcu:   [latex]a_{n+1} = underbrace{frac{1}{n+2}+frac{1}{n+3}+ldots+frac{1}{2n}}_{a_n - frac{1}{n+1}} + frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+2}[/latex]   Zapiszmy to więc w taki sposób:   [latex]a_{n+1} = a_n - frac{1}{n+1} + frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+2}[/latex]   Widzimy, że trzeci ułamek jest połową pierwszego, co oznaczyliśmy jako współczynnik 1/2 przy nim. Skoro tak, to możemy połaczyć pierwszy i trzeci ułamek razem:   [latex]a_{n+1} = a_n - frac{1}{n+1} + frac{1}{2n+1} + frac{1}{2}cdotfrac{1}{n+1}[/latex]   potem:   [latex]a_{n+1} = a_n + frac{1}{2n+1} - frac{1}{2n+2}[/latex]   Wzór został nieco przegrupowany i ułamek drugi w poprzednim wzorze ustawiony na pierwszym miejscu, a połączony ułamek pierwszy i trzeci na drugim miejscu.   Patrząc na wzór z treści zadania widzimy, że [latex]a_1 = frac{1}{2}[/latex]. Będzie to dość istotne spostrzeżenie. Spójrzmy też, że np: [latex]a_3[/latex] możemy zapisać jako:   [latex]a_3 = a_2 + frac{1}{5} - frac{1}{6}[/latex] [latex]a_3 = (a_1 + frac{1}{3} - frac{1}{4}) + frac{1}{5} - frac{1}{6}[/latex]   i na końcu podstawiając za [latex]a_1=frac{1}{2}[/latex]   [latex]a_3 = frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + frac{1}{5} - frac{1}{6}[/latex]   Chcąc policzyć granicę w nieskończoności musimy dodawać wcześniej podane wyrazy ułamkowe dla n od 1 do nieskończoności, więc nasz problem wygląda teraz tak:   [latex]lim_{n o infty}a_n = frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} + frac{1}{5} - frac{1}{6} + ldots[/latex]   Po pierwsze widzimy, że pierwszy wyraz, czyli 1/2 można zapisać jako 1 - 1/2, czyli:   [latex]lim_{n oinfty}a_n=frac{1}{1}-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+frac{1}{5}-frac{1}{6}+ldots[/latex]   Teraz już można prosto zapisać to w postaci sumy:   [latex]lim_{n oinfty}a_n=sum_{k=1}^{infty}(-1)^{k+1}frac{1}{k}[/latex]   Sytuacja wydaje się beznadziejna. Gdyby nie człon [latex](-1)^{k+1}[/latex], ten szereg nie byłby zbieżny. Jednak szczęśliwie jest to szereg naprzemienny i spełnia pozostałe kryteria zbieżności. Jesli pogrzebiemy w głowie odpowiednio długo i przypomnimy sobie wzór Taylora, to możemy po dłuższym czasie  domyślić się, że rozwinięcie Taylora logarytmu naturalnego ma podobną postać:   [latex]ln(x+1)=sum_{k=1}^{infty}(-1)^{k+1}frac{x^k}{k}[/latex]   Zauważmy, że jeśli [latex]x=1[/latex], wtedy rozwinięcie wygląda identycznie jak nasz szereg. Podstawmy zatem [latex]x=1[/latex], wtedy dostaniemy [latex]ln(2)[/latex], a człon z potęgami [latex]x[/latex] jest zawsze równy 1. Wtedy dostaniemy:   [latex]ln(2)=sum_{k=1}^{infty}(-1)^{k+1}frac{1}{k}[/latex]   Widzimy, że mamy równość, więc możemy zapisać:   [latex]lim_{n oinfty}a_n=sum_{k=1}^{infty}(-1)^{k+1}frac{1}{k} = ln(2)[/latex]   W ostateczności odpowiedzią na pytanie jest:   [latex]lim_{n o infty}frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+ldots+frac{1}{2n}=ln(2)[/latex]   Rozwiązanie jest poprawne, bo sprawdziłem je na przykładzie [latex]a_{10000}[/latex] i faktycznie jest bardzo bliskie wartości [latex]ln(2)[/latex], więc to wyraźna przesłanka, że w rozwiązaniu nie ma błedu. Niestety rozwiązanie nie jest w pełni formalne i nie jest wszystko dokładnie wyjaśnione. Tutaj niestety nie da się tego prosto i szybko opisać, bo trzeba korzystać z rozwinięć taylora i twierdzeń o zbieżności szeregu. Nie wymyśliłem prostszej metody rozwiązania tego i przypuszczam, że może nie istnieć żadna istotnie prostsza metoda, patrząc na to jakie wyszło rozwiązanie, ale mogę się mylić.   Zdecydowałem jeszcze dodać jeden argument za poprawnością rozwiązania. Można łatwo wyznaczyć w jakim przedziale znajduje się rozwiązanie. Zobaczmy, że:   [latex]lim_{n o infty}frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+ldots+frac{1}{2n} > lim_{n o infty}underbrace{frac{1}{2n}+frac{1}{2n}+ldots+frac{1}{2n}}_{n:mathrm{skladnikow}} [/latex]   Limes z prawej strony nierówności prosto policzyć:   [latex]lim_{n o infty}frac{1}{2n}+frac{1}{2n}+ldots+frac{1}{2n}=lim_{n o infty}frac{n}{2n}=lim_{n o infty}frac{1}{2}=frac{1}{2}[/latex]   zatem widzimy, że granica naszego ciągu musi być większa od 1/2. Z drugiej strony:   [latex]lim_{n o infty}frac{1}{n+1}+frac{1}{n+2}+ldots+frac{1}{2n} < lim_{n o infty}underbrace{frac{1}{n+1}+frac{1}{n+1}+ldots+frac{1}{n+1}}_{n:mathrm{skladnikow}} [/latex]   Natomiast limes po prawej stronie nierówności jest równy:   [latex]lim_{n o infty}frac{1}{n+1}+frac{1}{n+1}+ldots+frac{1}{n+1}=lim_{n o infty}frac{n}{n+1}=1[/latex]   Ostatecznie:   [latex]frac{1}{2}