1. Wykaż, że liczba 5^n+5^n+1+5^n+2+5^n+3 jest podzielna przez 195. Dla każdego n należy do N+. 2. Wykaż, że jeżeli liczba p-3 jest podzielna przez 7, to liczba p^2+5 też jest podzielna przez 7. ^-potęga/ N+- liczny naturalne większe od 0 NIE ZAPOMN

1. [latex]5^n+5^{n+1}+5^{n+2}+5^{n+3}\\=5^n+5^1cdot5^n+5^2cdot5^n+5^3cdot5^n\\=5^n+5cdot5^n+25cdot5^n+125cdot5^n\\=5^n(1+5+25+125)\\=5^ncdot156\\=5^{n-1}cdot5cdot156\\=5^{n-1}cdot780\\=195cdot4cdot5^{n-1}[/latex] W iloczynie występuje czynnik 195, czyli cała liczba jest podzielna przez 195. n jest liczbą naturalną dodatnią, czyli 5^(n-1) jest co najmniej liczbą 1 dla n = 1: 5^(1-1) = 5^0 = 1. Korzystałem ze wzoru: [latex]a^ncdot a^m=a^{n+m}[/latex] 2. Jeżeli liczba p - 3 jest podzielna przez 7, to musi być postaci p - 3 = 7k, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Z tego równania mamy: p - 3 = 7k    |+3 p = 7k + 3 Podstawiamy do p² + 5: [latex](7k+3)^2+5=(7k)^2+2cdot7kcdot3+3^2+5=49k^2+42k+9+5\\=49k^2+42k+14=7(7k^2+6k+2)[/latex] W iloczynie występuje czynnik równy 7, czyli cała liczba jest podzielna przez 7. Korzystałem ze wzoru: [latex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/latex]

1. [latex]\5^n+5^{n+1}+5^{n+2}+5^{n+3}=5^n(1+5+5^2+5^3)= \ \(6+25+125)cdot5^n=156cdot5cdot5^{n-1}=780cdot5^{n-1}= \ \195cdot(4cdot5^{n-1}) , \ \co nalezalo wykazac. \ \2. \Zalozenie: p-3=7k, kin C \ \p^2+5=(p^2-9)+14 = (p-3)(p+3)+2cdot7= \ \7k(p+3)+2cdot7 = 7cdot[k(p+3)+2], \ \co nalezalo wykazac.[/latex]