Wpierw wyliczymy wentory AB i AC, gdyż potrzebne nam to będzie do wzory na pole": [latex]P=frac12cdot|vec{AB} imes vec{AC}|\ \ [/latex] Teraz mając dane punkty: A, B; C możemy określić ich współrzędne: [latex]A=(x_A;y_A;z_A); B=(x_B;y_B;z_B); C=(x_C;y_C;z_C)\ \ vec{AB}=[x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A]\ vec{AC}=[x_C-x_A;y_C-y_A;z_C-z_A]\ \ Nasze punkty maja wspolrzedne:\ A=(2;-1;2); B=(1;2;-1); C=(3;2;1)\ \ vec{AB}=[1-2;2-(-1);-1-2]=[-1;3;-3]\ vec{AC}=[3-2;2-(-1);1-2]=[1;3;-1]\ \ \ [/latex] Obliczamy teraz za pomocą wyznacznika iloczyn wektorowy wektorów AB i AC: [latex]vec{AB} imes vec{AC}=left[egin{array}{ccc}vec{i}&vec{j}&vec{k}\-1&3&-3\1&3&-1end{array} ight]=\ =(3cdot(-1)-(-3)cdot3)vec{i}-(-1cdot(-1)-(-3)cdot1)vec{j}+\ +(-1cdot3-3cdot1)vec{k}=(-3+9)vec{i}-(1+3)vec{j}+(-3-3)vec{k}=\=6vec{i}-4vec{j}-6vec{k}.\ \ [/latex] Wektory i, j oraz k są to wektory jednostkowe, wobec tego po podstawieniu do wzoru na pole trójkąta: [latex]P=frac12cdotsqrt{(-6)^2+(-4)^2+(-6)^2}=frac12cdot sqrt{36+16+36}=\ =frac12cdotsqrt{88}=frac12cdot2sqrt{22}=sqrt{22}[/latex] Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi: [latex]sqrt{22}[/latex]. PS. Jest jeszcze "gotowy wzór" na obliczanie pola takich trójkątów, ale nie wiem, czy jest sens taki wzór podawać. (trochę długi on jest). Wystarczy wpisać w odpowiednie pola współrzędne wierzchołków trójkąta i ma sie "gotowy" wynik.
