[latex]c=frac{2}{sqrt{5}-sqrt{3}}-frac{1}{sqrt{5}+sqrt{3}}= frac{2*(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{5}-sqrt{3})}{(sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})} = frac{2sqrt{5}+2sqrt{3}-sqrt{5}+sqrt{3}}{5-3}=\ \ \ =frac{sqrt{5}+3sqrt{3}}{2}\ [/latex] [latex]c^{-1}=(frac{sqrt{5}+3sqrt{3}}{2})^{-1}=frac{2}{sqrt{5}+3sqrt{3}}*frac{sqrt{5}-3sqrt{3}}{sqrt{5}-3sqrt{3}}=frac{2*(sqrt{5}-3sqrt{3})}{5-9*3}=\ \ \ =frac{2*(sqrt{5}-3sqrt{3})}{5-27}=frac{2*(sqrt{5}-3sqrt{3})}{-22}=-frac{sqrt{5}-3sqrt{3}}{11}=frac{3sqrt{3}-sqrt{5}}{11} [/latex]
[latex]c=dfrac{2}{sqrt5-sqrt3}-dfrac{1}{sqrt5+sqrt3}[/latex] Aby zrobić odwrotność tej liczby, musimy zapisać ją na jednej kresce ułamkowej. Aby to zrobić, musimy sprowadzić do wspólnego mianownika, którym jest iloczyn mianowników, które mamy. [latex]=dfrac{2(sqrt5+sqrt3)}{(sqrt5-sqrt3)(sqrt5+sqrt3)}-dfrac{1(sqrt5-sqrt3)}{(sqrt5-sqrt3)(sqrt5+sqrt3)}[/latex] W mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex] A w liczniku z rozdzielności mnożenia względem dodawania: [latex]acdot(b+c)=ab+ac[/latex] [latex]=dfrac{2sqrt5+2sqrt3}{(sqrt5)^2-(sqrt3)^2}-dfrac{sqrt5-sqrt3}{(sqrt5)^2-(sqrt3)^2}\\=dfrac{2sqrt5+2sqrt3-(sqrt5-sqrt3)}{5-3}\\=dfrac{2sqrt5+2sqrt3-sqrt5+sqrt3}{2}\\=dfrac{sqrt5+3sqrt3}{2}[/latex] Mamy liczbę c. Teraz liczymy jej odwrotność: [latex]dfrac{1}{c}=dfrac{2}{sqrt5+3sqrt3}[/latex] Nie zostawiamy niewymierności w mianowniku i jeżeli możemy ją usunąć, to to robimy. Skorzystamy ponownie ze wzory, którego użyliśmy wcześniej rozszerzając ułamek przez tzw. sprzężenie mianownika (wyrażanie z przeciwnym znakiem między liczbami): [latex]=dfrac{2}{sqrt5+3sqrt3}cdotdfrac{sqrt5-3sqrt3}{sqrt5-3sqrt3}=dfrac{2(sqrt5-3sqrt3)}{(sqrt5)^2-(3sqrt3)^2}\\=dfrac{2(sqrt5-3sqrt3)}{5-9cdot3}=dfrac{2(sqrt5-3sqrt3)}{5-27}\\=dfrac{2(sqrt5-3sqrt3)}{-22}=dfrac{sqrt5-3sqrt3}{-11}=dfrac{-(sqrt5-3sqrt3)}{11}=oxed{frac{3sqrt3-sqrt5}{11}}[/latex]
