Mamy doczynienia z wahadłem fizycznym. W wahadle tym należy znaleźć odległość s środka masy od punktu zaczepienia oraz jego moment bezwładności I liczony względem punktu zaczepienia, aby obliczyć okres: [latex]T=2pisqrt{frac{I}{M_cgs}}[/latex] gdzie Mc to suma masy pręta m i ciężarka M. 1. Środek masy. Pręt jest jednowymiarowy i jednorodny, zatem środek masy każdego z odcinków pręta znajduje się zawsze w połowie. Przybliżmy więc pręt jako dwa odcinki różnej długości x i y, gdzie punktem przecięcia prętu będzie środek masy. y to zarazem punkt zaczepienia ciężarka. W związku z tym możemy skonstruować następujące równanie: [latex]frac{1}{2}m_xx=frac{1}{2}m_yy+My[/latex] Korzystając z jednorodności pręta możemy wyznaczyć jego gęstość liniową (odpowiednik gęstości tylko w jednym wymiarze): [latex]lambda=frac{m}{L}[/latex] Co pozwala obliczyć masy odcinków pręta: [latex]frac{mx^2}{L}=frac{my^2}{L}+2My[/latex] Jako, że x+y=L. Zatem: [latex]m(L-y)^2=my^2+2MyL[/latex] Zatem: [latex]Ly(2M+m)=mL^2[/latex] [latex]y=frac{m}{2M+m}L[/latex] Ponadto [latex]s=x-y=L-2y[/latex] Czyli [latex]s=Lleft(1-frac{2m}{2M+m} ight)[/latex] 2. Moment bezwładności dodaje się, więc mamy doczynienia z sumą momentu bezwładności pręta oraz punktowej masy. Moment bezwładności pręta wynosi: [latex]I_p=frac{1}{12}mL^2[/latex] Moment punktowej masy, to [latex]I_M=Mr^2=frac{1}{4}ML^2[/latex], bo punkt zaczepienia znajduje się w połowie pręda, czyli r=L/2, zatem łącznie: [latex]I=L^2left(frac{1}{12}m+frac{1}{4}M ight)[/latex] Pozostaje całość podstawić do wzoru na okres: [latex]T^2=4pi^2frac{L^2(m+3M)}{12g(m+M)Lleft(1-frac{2m}{2M+m} ight)}=pi^2frac{L(m+3M)(2M+m)}{3g(m+M)(2M-m)}[/latex] [latex]3gT^2(2M^2+Mm-m^2)=pi^2L(6M^2+5Mm+m^2)[/latex] Pozostaje tylko to rozwiązać równanie kwadratowe z M jako niewiadomą, jako ćwiczenie ;)
M - szukana masa ciężarka m = 0.2 kg L = 0.15 m Położenie środka masy układu względem srodka pręta: d = M·(L/2)/(m + M) = M·L/(2·(m + M)) Moment bezwładności układu względem osi obrotu: I = m·L²/12 + M·(L/2)² = (m + 3·M)·L² /12 Okres wahań wahadła fizycznego: T = 2·π·√(I/((m+M)·g·d)) Po wstawieniu wcześniejszych zależnosci mamy: T = 2·π·√{ [(m + 3·M)·L² /12] / ((m+M)·g·M·L/(2·(m + M))) } T = 2·π·√{ (m + 3·M)·L / (6·g·M) } T² = 4·π²·(m + 3·M)·L / (6·g·M) 1.5·T²·g·M = π²·m·L + 3·π²·M·L 3·M·(0.5·T²·g - π²·L) = π²·m·L M = π²·m·L / [3·(0.5·T²·g - π²·L)] M = 3.14²·0.2·0.15 / [3·(0.5·1²·9.81 - 3.14²·0.15)] = 0.029 kg
