Zadanie 1. Każde ciało przyciąga drugie ciało z siłą F wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas m1 i m2 oraz przeciwproporcjonalną do kwadratu odległości r ich środków mas. [latex]F=Gfrac{m_1m_2}{r^2}[/latex] Odpowiedni obrazek jest na wikipedii: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg a) [latex]frac{F_a}{F}=frac{r^2}{left(frac{1}{3}r ight)^2}=9[/latex] Wzrosłaby dziewięciokrotnie. b)[latex]frac{F_b}{F}=frac{4m_1cdot m_2}{m_1m_2}=4[/latex] Wzrosłaby czterokrotnie c)[latex]frac{F_c}{F}=frac{frac{1}{2}m_1cdot frac{1}{2}m_2}{m_1m_2}=frac{1}{4}[/latex] Zmalałaby czterokrotnie Zadanie 2. Pierwsza prędkość kosmiczna to mnimalna prędkość, przy której ciało poruszałoby się po orbicie przy powierzchni Ziemi. Aby ją obliczyć siła odśrodkowa musi równoważyć siłę grawitacji (orbita dla najmniejszej prędkości jest właśnie kołowa): [latex]F_{ods}=F_{g}[/latex] [latex]F_{ods}=frac{mv_I^2}{R_Z}[/latex] [latex]F_g=Gfrac{mM_Z}{R_Z^2}[/latex] [latex]frac{mv_I^2}{R_z}=Gfrac{mM_Z}{R_Z^2}[/latex] [latex]v_I=sqrt{frac{GM_Z}{R_Z}[/latex] po podstawieniu danych: [latex]v_I=7,908 frac{mathrm{km}}{mathrm{s}}[/latex] Zadanie 3. Podstawiamy do wzoru z zadania 1 odpowiednie masy i liczmy: [latex]F_Z=Gfrac{mM_Z}{R_Z^2}=488 mathrm{N}[/latex] [latex]F_A=Gfrac{mM_A}{R_A^2}=41,69 mathrm{N}[/latex] [latex]F_{A+3000}=Gfrac{mM_A}{(R_A+3cdot10^6)^2}=13,61 mathrm{N}[/latex] [latex]F_B=Gfrac{mM_B}{R_B^2}=18,52 mathrm{N}[/latex] Zadanie 4. Znów korzystamy ze wzoru z zadania 1. a)[latex]frac{F_a}{F}=frac{2M_Zcdot m}{m_Zm}=2[/latex] wzrosłaby dwukrotnie b)[latex]frac{F_b}{F}=frac{R_Z^2}{left(frac{1}{2}r ight)^2}=4[/latex] wzrosłaby czterokrotnie Zadanie 5. a) Korzystamy podobnie jak w zadaniu 2. z faktu, iż siła odśrodkowa musi równoważyć siłę grawitacji. [latex]F_{ods}=F_{g}[/latex] [latex]F_{ods}=frac{mv_I^2}{R_Z+5cdot10^5}[/latex] [latex]F_g=Gfrac{mM_Z}{(R_Z+5cdot10^5)^2}[/latex] [latex]frac{mv_I^2}{R_z}=Gfrac{mM_Z}{(R_Z+5cdot10^5)^2}[/latex] [latex]v=sqrt{frac{GM_Z}{R_Z+5cdot10^5}}=7,616 frac{mathrm{km}}{mathrm{s}}[/latex] b)[latex]frac{v_I-v}{v_I}=frac{7,908-7,616}{7,908}=3,77\%[/latex] c) Okres to czas w którym wykona pełne okrążenie Ziemi, więc należy policzyć drogę, którą przebędzie i podzielić przez prędkość. Drogą tą będzie obwód orbity. [latex]Obw=2pi(R_Z+5cdot10^5 mathrm{m})=4,335cdot10^7 mathrm{m}[/latex] [latex]T=frac{Obw}{v}=frac{4,335cdot10^7 mathrm{m}}{7616 frac{mathrm{m}}{mathrm{s}}}=5692 mathrm{s}=1 mathrm{h} 34 mathrm{min} 52 mathrm{s}[/latex]
