Zad.1. [latex]W(x)=(2x-3)^3-(x^2-2x-5)= [/latex] [latex]=8x^3-36x^2+54x-27-x^2+2x+5 =8x^3-37x^2+56x-22 [/latex] Wielomian W(x) jest trzeciego stopnia. Zad.2. Podstawiamy g(x)*v(x)=f(x) [latex](3x-1)(x^2-mx+k)=3x^3+17x^2-2 [/latex] [latex]x^2-mx+k=frac{3x^3+17x^2-2}{3x-1}[/latex] [latex]x^2-mx+k=x^2+6x+2[/latex] [latex]-mx+k=6x+2[/latex] Przyrównujemy współczynniki, widzimy, że m=-6 k=2 Uwaga: Wielomian 3x^3+17x^2-2 podzieliłam na 3x+1 korzystając z dzielenia pisemnego wielomianów (twierdzenie Bezout) Zad.3. [latex]frac{W(x)}{4x^2+3}=3x-3 r. 6x+5 |cdot (4x^2+3)[/latex] [latex]W(x)=(4x^2+3)(3x-2)+6x+5[/latex] [latex]W(x)=(4x^2+3)(3x-2)+6x+5 =12x^3-8x^2+9x-6+6x+5[/latex] [latex]=12x^3-8x^2+15x-1 [/latex] Współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 12, a wyraz wolny -1 Zad.4. [latex]W(x)=2x^3+kx^2-8x+20[/latex] [latex]W(2)=0[/latex] [latex]W(2)=2cdot 8+4k-8cdot 2+20=0[/latex] [latex]16+4k-16+20=0 [/latex] [latex]k=-5[/latex] Wszystkie pierwiastki wielomianu: [latex]W(x)=2x^3-5x^2-8x+20=x^2(2x-5)-4(2x-5) =[/latex] [latex]=(2x-5)(x^2-4)=(2x-5)(x-2)(x+2)[/latex] Widzimy, że pierwiastki wielomianu to 2,5; 2; oraz -2 Zad.5. a) [latex]8x^3-5^3= (8x-5)(4x^2+10x+25) [/latex] b) [latex]x^3-6x^2-3x+18=x^2(x-6)-3(x-6)=(x-6)(x^2-3)= [/latex] [latex]=(x-6)(x-sqrt{3})(x+sqrt{3})[/latex] c) [latex]x^4-8x^2+16=(x^2)^2-8x^2+16 Delta_{x^2}=0 x^2=4[/latex] [latex]x=2 lub x=-2[/latex] Z tego wynika, że : [latex]x^4-8x^2+16=(x-2)^2(x+2)^2=(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)[/latex] Zad.6. a) [latex]2x^3-9x^2=5x 2x^3-9x^2-5x=0 [/latex] [latex]x(2x^2-9x-5)=0 x(x+0,5)(x-5)=0[/latex] x={-0,5; 0; 5} b) [latex]x^3-3x^2+x-3=0 x^2(x-3)+(x-3)=0 [/latex] [latex](x-3)(x^2+3)=0[/latex] Rozwiązaniem jest tylko x=3, bo równanie x^2+3 ni3 ma miejsc zerowych, bo delta jest ujemna c) [latex]x^3-13x-12=0[/latex] [latex]x^3-x-12x-12=0 x(x^2-1)-12(x+1)=0[/latex] [latex]x(x-1)(x+1)-12(x+1)=0 [/latex] [latex](x+1)[x(x-1)-12]=0 [/latex] [latex](x+1)(x-4)(x+3)=0 [/latex] x={-3,-1,4}
