Boki trójkąta ABC oznaczam: IABI = c, IBCI = a, IACI = b. Dwusieczna ∢ABC przecina bok AC w punkcie D. Korzystam z twierdzenia o dwusiecznych kąta w trójkącie: Dwusieczna kata wewnętrznego trójkata dzieli bok przeciwległy na 2 odcinki, których stosunek długości jest równy stosunkowi długości pozostałych boków. W naszym trójkącie będzie zatem: IADI c ---------- = -------- IDCI a Ponadto: IADI + IDCI = b. Stanowi to układ równań, z którego wyliczyć należy długości odcinków AD oraz DC. IADI = IDCI · c/a Po podstawieniu do drugiego równania mamy: IDCI · c/a + IDCI = b IDCI ( c/a + 1) = b IDCI [(c+a) / a] = b IDCI = b : (c+a)/a = b · a/ (c+a) = ab / (a+c) IADI = ab / (a+c) · c/a = bc / (a+c) Stosując tw. cosinusów do obu trójkątów mamy: IDCI² = a²+IBDI² -2a·IBDI · cos β/2 (β - kąt ABC) IADI² = c²+IBDI² -2c·IBDI · cos β/2 Po podstawieniu po lewych stronach równości mamy: (ab/(a+c) )² = a² +IBDI² -2a·IBDI·cos β/2 (bc/(a+c) )² = c² + IBDI² -2c·IBDI ·cos β/2 Odejmując stronami drugie równanie od pierwszego mamy: (ab/(a+c) )² - (bc/(a+c) )² = a² -c² -2a·IBDI·cosβ/2 + 2c·IBDI·cosβ/2 a²b² - b²c² ----------------------- = a²-c²-2·IBDI·(a-c)cosβ/2 (a+c)² b²(a²-c²) 2IBDI·(a-c)cosβ/2 = a²-c² - ------------------- (a+c)² b²(a-c)(a+c) 2IBDI·(a-c)cosβ/2 = a²-c² - -------------------------- (a+c)² b²(a-c) 2IBDI ·(a-c)cosβ/2 = a² -c² - ------------------------ a+c (a²-c²)(a+c) - b²(a-c) 2IBDI·(a-c)cosβ/2 = --------------------------------------- a+c (a-c)(a+c)² -b²(a-c) 2IBDI ·(a-c)cosβ/2 = --------------------------------------- /:(a-c) a+c (a+c)² - b² 2IBDI cosβ/2 = ------------------------------ /:2cosβ/2 a+c (a+c)² -b² IBDI = ----------------------------- 2(a+c)cosβ/2
