Wykaż, że liczba n 3 + 11n jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej n.

Jeśli n=1, to: [latex]1^3+11cdot1=12[/latex] liczba ta dzieli się przez 6.   Załóżmy indukcyjnie, że dla pewnej liczby naturalnej k liczba [latex]k^3+11k=6t\tin N_+[/latex]   Twierdzimy, że [latex](k+1)^3+11(k+1)=6p\pin N_+[/latex]   Dowód: [latex](k+1)^3+11(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=\=k^3+11k+3(k^2+k+4)[/latex]   Liczba [latex]k^2+k+4[/latex] jest liczbą parzystą, więc liczba [latex]3(k^2+k+4)[/latex] dzieli się przez 6, jest więc równa [latex]6w\win N_+[/latex] zatem [latex](k+1)^3+11(k+1)=6t+6w=6p\p=t+win N_+[/latex]   Albo- jeśli nie znasz indukcji: [latex]n^3+11n=n(n^2+11)=n[(n+1)(n+2)-3n+9]=\=n(n+1)(n+2)-3n(n-3)[/latex]   Iloczyn n(n+1)(n+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród takich liczb jest co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3, więc iloczyn ich dzieli się przez 6.   Iloczyn n(n-3) jest liczbą parzystą, bo albo n, albo (n-3) jest liczba parzystą. Stąd- iloczyn 3n(n-3) dzieli się przez 6.   Różnica liczb podizelnych przez 6 jest liczbą podzielną przez 6, więc liczba [latex]n^3+11n[/latex] dzieli się przez 6.