Krysicki 3.62 Zbadać zbieżność szeregu [latex]sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n(sqrt{n+1}-sqrt{n})}[/latex]

korzystając ze wzoru: [latex]a-b=frac{a^2 -b^2}{a+b}[/latex] [latex]a_n =frac{1}{n(sqrt{n+1}-sqrt{n})}=frac{sqrt{n+1}+sqrt{n}}{n(n+1-n)}=frac{sqrt{n+1}+sqrt{n}}{n}[/latex]   [latex]frac{sqrt{n+1}+sqrt{n}}{n}>frac{sqrt{n}+sqrt{n}}{n}=frac{2sqrt{n}}{n}=frac{2}{sqrt{n}}[/latex]   [latex]sum_{n=1}^{infty} frac{2}{sqrt{n}}[/latex] -jest rozbieżny.   ([latex]sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^{alpha}}[/latex] -rozbieżny dla [latex]alpha le 1[/latex] )   na mocy kryterium porównawczego: [latex]sum_{n=1}^{infty} a_n [/latex] -rozbieżny.