Równanie Schroedingera wewnątrz studni:
[latex]-frac{hbar^2}{2m}frac{d^2}{dx^2}Psi=EPsi\ Psi=Asin{omega x+phi}\ omega=frac{sqrt{2mE}}{hbar}[/latex]
poza studnią mamy rozwiązanie zerowe, jako, że zakładamy nieskończonąwysokosć potencjału (nieprzepuszczalne ścianki)
z warunku ciągłości funkcji falowej dla x=0 oraz x=L
[latex]Psi(0)=Asinphi=0\ phi=npi[/latex]
A nie może być równe zeru, gdyż wtedy rozwiązanie byłoby trywialne
[latex]Psi(L)=Asin{omega L}=0\ omega L=npi\ omega=frac{npi}{L}\ frac{2mE}{hbar^2}=frac{n^2pi^2}{L^2}\ E=frac{n^2pi^2hbar^2}{2mL^2}\ E_1=frac{pi^2hbar^2}{2mL^2}[/latex]
stałą A wyznaczyć należy z warunku normalizacji funkcji falowej (dla stanu podstawowego n=1)
[latex]int_{0}^{L}{|Psi|^2, dx}=1\ A^int_{0}^{L}{sin^2{frac{pi x}{L}} , dx}[/latex]
całka ta jest dość prosta i nie będę jej tu szczegółowo liczył, podpowiem tylko, że trzeba skorzystać ze wzoru na cos(2x)=1-2sin^2{x}
[latex]A^2(0.5L-sin{frac{2pi L}{L}}/(4pi/L))=0.5LA^2=1\ A=sqrt{frac{2}{L}}\ Psi=sqrt{frac{2}{L}}sin{frac{pi x}{L}}[/latex]
Prawdopodobieństwo:
[latex]P(L/3
