W zadaniu należy zbadać granicę ilorazu różnicowego, czyli zbadać
[latex]limlimits_{x o x_0} dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/latex].
Podstawiamy dane z treści zadania i liczymy granice jednostronne:
[latex]limlimits_{x o 1^-} dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=limlimits_{x o 1^-}dfrac{dfrac{x+3}{x-5}-dfrac{1+3}{1-5}}{x-1}=limlimits_{x o 1^-}dfrac{dfrac{x+3}{x-5}+1}{x-1}=\ =limlimits_{x o 1^-}dfrac{dfrac{x+3+x-5}{x-5}}{x-1}=limlimits_{x o 1^-}dfrac{dfrac{2x-2}{x-5}}{x-1}=limlimits_{x o 1^-}dfrac{2(x-1)}{(x-5)(x-1)}=\ =limlimits_{x o 1^-}dfrac{2}{x-5}=dfrac{2}{-4}=oxed{dfrac{-1}{2}}[/latex]
[latex]limlimits_{x o 1^+} dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=limlimits_{x o 1^+}dfrac{dfrac{x+3}{x-5}-dfrac{1+3}{1-5}}{x-1}=limlimits_{x o 1^+}dfrac{dfrac{x+3}{x-5}+1}{x-1}=\ =limlimits_{x o 1^+}dfrac{dfrac{x+3+x-5}{x-5}}{x-1}=limlimits_{x o 1^+}dfrac{dfrac{2x-2}{x-5}}{x-1}=limlimits_{x o 1^+}dfrac{2(x-1)}{(x-5)(x-1)}=\ =limlimits_{x o 1^+}dfrac{2}{x-5}=dfrac{2}{-4}=oxed{dfrac{-1}{2}}[/latex]
Z faktu iż granice jednostronne istnieją, są skończone i są równe wnosimy, że
[latex]limlimits_{x o 1} dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=limlimits_{x o 1}dfrac{dfrac{x+3}{x-5}-dfrac{1+3}{1-5}}{x-1}=oxed{dfrac{-1}{2}}[/latex]
Wobec tego powyższą skończoną granicę możemy oznaczyć jako:
[latex]f^{prime}(1)=dfrac{-1}{2}[/latex]
Zadanie 2
Twierdzenie Darboux:
Niech [latex]fcolon [a,b] mapsto mathbb{R}[/latex] będzie funkcją ciągłą. Wówczas funkcja [latex]f[/latex] przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy wartością najmniejszą a wartością największą funkcji [latex]f[/latex] w przedziale [latex][a,b].[/latex]
Najpierw zauważmy, że funkcje [latex]f,g[/latex] są ciągłe w całym zbiorze [latex]mathbb{R},[/latex] zatem w szczególności funkcje te są ciągłe w całym przedziale [latex](-3,-2).[/latex]
Zajmijmy się najpierw funkcją [latex]f[/latex]:
Obliczmy jej wartość największą i najmniejszą w przedziale [latex](-3,-2)[/latex].
Szukamy jej ekstremum:
[latex]f^{prime}(x)=3x^3-7\ f^{prime}(x)=0\ 3x^3-7=0\ 3x^3=7vert :3\ x^3=dfrac{7}{3}\ x=sqrt[3]{dfrac{7}{3}}=dfrac{sqrt[3]{7}}{sqrt[3]{3}}cdot dfrac{sqrt[3]{9}}{sqrt[3]{9}}=dfrac{sqrt[3]{63}}{3} extgreater -2[/latex]
Jedyny punkt stacjonarny nie należy do rozważanego przedziału, zatem możemy zająć się poszukiwaniami wyłącznie w przedziale [latex](-3,-2)[/latex].
[latex]f(-3)=(-3)^4-7cdot (-3)=81+21=102\ f(-2)=(-2)^4-7cdot (-2)=16+14=30[/latex]
Z powyższych obliczeń wynika, że funkcja [latex]f[/latex] przyjmuje w przedziale [latex](-3,-2)[/latex] każdą wartość z przedziału [latex](30,102)[/latex]
Zajmijmy się najpierw funkcją [latex]g[/latex]:
Obliczmy jej wartość największą i najmniejszą w przedziale [latex](-3,-2)[/latex].
Szukamy jej ekstremum:
[latex]g^{prime}(x)=-9x^2-4\ g^{prime}(x)=0\ -9x^2-4=0\ 9x^2=-4vert:9\ x^2
ot=dfrac{-4}{9}[/latex]
Z powyższego wnosimy, że funkcja [latex] g [/latex] nie ma punktów stacjonarnych, więc tym samym nie ma ekstremów, zatem możemy zająć się poszukiwaniami wyłącznie w przedziale [latex](-3,-2)[/latex].
[latex]g(-3)=-3cdot (-3)^3-4cdot (-3)+8=81+12+8=101\ g(-2)=-3cdot (-2)^3-4cdot (-2)+8=24+8+8=40[/latex]
Z powyższych obliczeń wynika, że funkcja [latex]g[/latex] przyjmuje w przedziale [latex](-3,-2)[/latex] każdą wartość z przedziału [latex](40,101)[/latex]
Wobec tego, że [latex](40,101) subset (30,102)[/latex] wnosimy, że funkcje [latex]f,g[/latex] przecinają się w przynajmniej jednym punkcie o odciętej należącej do przedziału [latex](-3,-2).[/latex]
